Кандидат-студентски задачи

[Mr.G{}{}Fy]

85.3 а) Ясно е, че [tex](x;y)=(1;1)[/tex] е решение на системата.
Да заместим в първото у-е с х=1. Получаваме [tex]y^2+y-2=0=>y_1=1; y_2=-2[/tex]
С проверка установяваме, че и у=-2 е решение и на второто у-е. Следователно с-та има две решения:
[tex](1;1); (1; -2)[/tex]

Ами за х, различно от 1?

prodanov, viewtopic.php?f=20&t=6205 . Виж последните 3 поста.

И аз това се чудих ... Принципно като решения са само това решенията ... Но иначе не схванах метода ... Защо не проверяваме x различно от 1 или как доказваме,че са само това решенията? Иначе се получава една гадорийка от 4-та степен,която няма решения(поне аз както решавах задачата),ама то е някакъв ужас ...

[strangerforever]

85.3 а) Ясно е, че [tex](x;y)=(1;1)[/tex] е решение на системата.
Да заместим в първото у-е с х=1. Получаваме [tex]y^2+y-2=0=>y_1=1; y_2=-2[/tex]
С проверка установяваме, че и у=-2 е решение и на второто у-е. Следователно с-та има две решения:
[tex](1;1); (1; -2)[/tex]

Откъде знаем, че системата има само 2 решения?

[Mr.G{}{}Fy]

А относно тази задача,която Проданов е пуснал,защо при едното решение още от началото трябва да се определи,че трябва да е [tex]\ge 2[/tex],а при другото може и в последствие?
П.П. Утре Г-жа Симеонова като стане и като погледне във форума ще има " Учителко любима,Добър Ден" Никой не схваща решението

[prodanov]

Най-добре няколко въпросчета, да се изясни и на двамата.

1. при [tex]\sqrt{f(x)} = g(x)[/tex] ДМ е дясното да е неотрицателно, а лявото да бъде неотрицателно следва след повдигането на квадрат? Вярно?

2. при [tex]\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = t(x)[/tex] ДМ са и 3те функции неотрицателни?

3. при 2 след повдигане на квадрат и оставяне корена в едната страна(като решението на задачата от линка на mkmarinov) дясната страна(тая без корена) не следва ли от ДМ да е неотрицателна?
т.е [tex]2\sqrt{(x-3)(x-7)} = a^2-2x+10[/tex]
Дясното следва да е неотрицателно в ДМ, щото вече сме вдигали в квадрат? Май греша, ама все пак.

[Mr.G{}{}Fy]

Виж едно от 2те решения (което и да е ) Ако в началото поставиш като ДМ само [tex]a\ge0[/tex] и при засичането му с интервала [tex](-\infty -2] \cup [2;+\infty )[/tex] то се получава [tex]a\ge 2[/tex] Надявам се сега е ясно вече т.е. в началото е достатъчно да поставиш ДМ: [tex]a\ge 0[/tex]

[ganka simeonova]

Най-добре няколко въпросчета, да се изясни и на двамата.

1. при [tex]\sqrt{f(x)} = g(x)[/tex] ДМ е дясното да е неотрицателно, а лявото да бъде неотрицателно следва след повдигането на квадрат? Вярно?

2. при [tex]\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = t(x)[/tex] ДМ са и 3те функции неотрицателни?

3. при 2 след повдигане на квадрат и оставяне корена в едната страна(като решението на задачата от линка на mkmarinov) дясната страна(тая без корена) не следва ли от ДМ да е неотрицателна?
т.е [tex]2\sqrt{(x-3)(x-7)} = a^2-2x+10[/tex]
Дясното следва да е неотрицателно в ДМ, щото вече сме вдигали в квадрат? Май греша, ама все пак.

Само забележка за последното- пак трябва да изискаш дясната страна да е неотрицателна..И след това да засечеш с първоначалното ДМ. Защото така ДМ-то или си остава същото, или се стеснява. Не забравяйте, че повдигането на квадрат не е еквивалентно преобразувание.

[inveidar]

За 85а) [tex]\begin{array}{|l} {x^{2}+y^{2}+x+y=4} \\ {x^{3}+xy+y^{2}=3} \end{array}[/tex] умножаваме първото уравнение с [tex]x[/tex](то трябва да е различно от нула, защото в противен случай лесно се проверява, че системата няма решение), а второто с -1 и ги събираме. Получаваме
[tex]x^{2}+(y^{2}-4)x-y^{2}+3=0[/tex].
Решаваме като квадратно относно [tex]y[/tex]. Дискриминантата е [tex]D=(y^{2}-2)^{2}[/tex], а [tex]x_{1,2}=\frac{4-y^{2}\mp (y^{2}-2)}{ 2}[/tex], т.е
[tex]x_{1}=1,x_{2}=3-y^{2}[/tex]. От едното решение се получават отговорите [tex](1;1)[/tex] и [tex](1;-2)[/tex], а от другото, замествайки в първото уравнение на първоначалната система, получаваме
[tex]y^{4}-6y^{2}+y+8=0[/tex], което очевидно има решение различно от 1 и -2. Остава да го решите. Програмите за чертаене на графики казват, че има две решения - едното от интервала [tex](-2;-1)[/tex], а другото в [tex](-3;-2)[/tex].

Може да се види, че всъщност при второто решение системата се редуцира до следната система
[tex]\begin{array}{|l} {x^{2}+y=1} \\ {x+y^{2}=3} \end{array}[/tex], която в момента не се сещам как да реша.

[Mr.G{}{}Fy]

от къде идва 1-вото редче на последната система

[inveidar]

Първото редче на последната система идва от второто редче на първата система. Прехвърляме [tex]y^{2}[/tex] в дясната страна и заместваме с хикс в дясно. После делим на хикс и се получава. А може да се получи и катов в първото уравнение на първата система заместим израза от второто уравнение в последната система.

[Mr.G{}{}Fy]

Първото редче на последната система идва от второто редче на първата система. Прехвърляме [tex]y^{2}[/tex] в дясната страна и заместваме с хикс в дясно. После делим на хикс и се получава. А може да се получи и катов в първото уравнение на първата система заместим израза от второто уравнение в последната система.

Ясно! Тенк Ю

[stflyfisher]

1 зад. Фукцията [tex]f(x)[/tex] е линейна, като [tex]f(0)\ne 0[/tex] e единственият коерн на уравнението [tex]f(x.f(x))=0[/tex]. Да се намери линейната функция [tex]f(x)[/tex].

2 зад. Да се намери аритметична прогресия, за която [tex]S_n=3n^2, n \in N[/tex], където [tex]S_n[/tex] е сумата на първите [tex]n[/tex] члена на аритметичмната прогресия.

3 зад. Да се реши уравнението: [tex]x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=8[/tex]

[strangerforever]

1 зад. Фукцията [tex]f(x)[/tex] е линейна, като [tex]f(0)\ne 0[/tex] e единственият коерн на уравнението [tex]f(x.f(x))=0[/tex]. Да се намери линейната функция [tex]f(x)[/tex].

2 зад. Да се намери аритметична прогресия, за която [tex]S_n=3n^2, n \in N[/tex], където [tex]S_n[/tex] е сумата на първите [tex]n[/tex] члена на аритметичмната прогресия.

3 зад. Да се реши уравнението: [tex]x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=8[/tex]

1 зад. [tex]f(x) = 4 - \frac{x}{2}[/tex]

2 зад. [tex]a_1 = 3; d = 6[/tex]

3 зад. [tex]x_1 = -2; x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{3}[/tex]

Това ли са отговорите?

[stflyfisher]

1 зад. [tex]f(x) = 4 - \frac{x}{2}[/tex]

2 зад. [tex]a_1 = 3; d = 6[/tex]

3 зад. [tex]x_1 = -2; x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{3}[/tex]

Това ли са отговорите?

Напълно верни

[strangerforever]

1 зад.

Всяка линейна функция е от вида [tex]ax + b[/tex], където [tex]a \ne 0[/tex]. Замествайки последователно получаваме:

[tex]f(x.f(x)) = 0 \Leftrightarrow f(ax^2 + bx) = 0 \Leftrightarrow a(ax^2 + bx) + b = 0 \Leftrightarrow a^2x^2 + abx + b = 0[/tex]

Това уравнение има единствен корен [tex]f(0) = b \ne 0[/tex]. Небходимо и достатъчно условие за това е:

[tex]\begin{array}{|l} {\Delta = a^2b(b - 4) = 0} \\ {x_0 = -\frac{ab}{2a^2} = b} \end{array}[/tex]

откъдето получаваме [tex]a = -\frac{1}{2}, b = 4[/tex].

Окончателно [tex]f(x) = 4 - \frac{x}{2}[/tex]

2 зад.

[tex]a_n = S_n - S_{n-1} = 3n^2 - 3(n-1)^2 = 6n - 3[/tex]

откъдето намираме [tex]a_1 = 3[/tex] и [tex]d = a_2 - a_1 = 6[/tex]

3 зад.

Уравнението има смисъл при [tex]x \ne -1[/tex]

Умножаваме по [tex](x+1)^2[/tex] и получаваме еквивалентното:

[tex]x^4 + 2x^3 - 6x^2 - 16x - 8 = 0[/tex]

Установяваме, че -2 е корен (двоен) чрез схемата на Хорнер и разлагаме до:

[tex](x+2)^2(x^2 - 2x - 2) = 0[/tex]

Окончателно решенията са:

[tex]x_1 = -2; x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{3}[/tex]

[stflyfisher]

Ето и едно друго решение на 3 зад.

[tex]x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=8, DM_x: x\ne -1[/tex]

[tex]x^2+(\frac{x}{x+1})^2=8[/tex]

[tex]x^2+(\frac{x}{x+1})^2 - 2x\frac{x}{x+1}=8-2\frac{x^2}{x+1}[/tex]

[tex](x-\frac{x}{x+1})^2+2\frac{x^2}{x+1}-8=0[/tex]

[tex](\frac{x^2+x-x}{x+1})^2+2\frac{x^2}{x+1}-8=0[/tex]

[tex](\frac{x^2}{x+1})^2+2\frac{x^2}{x+1}-8=0[/tex]

Пол: [tex]\frac{x^2}{x+1}=t[/tex]
...

[pepi23]

(5т.)Задача 17. Докажете, че [tex](1-a)^n \ge 1 - na[/tex], където [tex]0 \le a < 1, n \in \mathbb{R}[/tex].
(5т.)Задача 18. Основите на трапец имат дължина [tex]4a[/tex] и [tex]a[/tex]. Средата на всяка от тях е съединена с краищата на другата основа и получените отсечки се пресичат в точките [tex]K[/tex] и [tex]P[/tex]. Да се намери дължината на отсечката [tex]KP[/tex].