Кандидат-студентски задачи

[ganka simeonova]

А има ли решение без анализ-аз си блъсках главата ,но не открих

Няма идея:) Може и да има, но аз измислих това решение и не ми се мисли за друго. Това, според мен е доста добро
Ако някой измисли друго, ще е хубаво да го напише.

[0xdeadbeef]

[tex](k+1)\cos{\frac{\pi}{k+1}} - k\cos{\frac{\pi}{k}} > 1 \Leftrightarrow k(\cos{\frac{\pi}{k+1}} - \cos{\frac{\pi}{k}}) > 1 - \cos{\frac{\pi}{k+1}} \Leftrightarrow k\sin{[\frac{\pi(2k+1)}{2k(k+1)}]}\sin{[\frac{\pi}{2k(k+1)}]} > \sin^2{\frac{\pi}{2(k+1)}}[/tex]

[tex]\small(*)[/tex] [tex]\sin{[\frac{\pi(2k+1)}{2k(k+1)}]} > \sin{\frac{\pi}{2(k+1)}}[/tex]

[tex]\small(**)[/tex] [tex]k\sin{[\frac{\pi}{2k(k+1)}]} > \sin{\frac{\pi}{2(k+1)}} = 2\sin{\frac{\pi}{4(k+1)}}\cos{\frac{\pi}{4(k+1)}}[/tex]

[tex]\small(*)[/tex] e вярно, понеже аргументите на функциите от лявата и от дясната страна са в интервала [tex](0,\frac{\pi}{2}][/tex] (понеже [tex]k \ge 2[/tex]), [tex]sin{(y)}\uparrow[/tex] в [tex](0,\frac{\pi}{2}][/tex] и [tex]\frac{\pi(2k+1)}{2k(k+1)} >\frac{\pi}{2(k+1)}[/tex].

[tex]\small(**)[/tex] e вярно, поради причините, които и [tex]\small(*)[/tex] е вярно и това, че стойностите на [tex]\cos{\frac{\pi}{4(k+1)}}[/tex] са в интервала [tex](0,1)[/tex].

Така от [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex] следва и вярноста на даденото неравенство.

---
Предлагам ви още едно интересно неравенство с тригонометрични функции, на което попаднах днес.

Да се докаже, че ако [tex]x \in (0,\frac{\pi}{2})[/tex], то [tex]\frac{\pi}{2} < \frac{x}{\sin{x}} + \frac{x}{tg{x}} < 2[/tex]

[dimy93]

малко повече детайли върху **?

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]\small(*) \sin{[\frac{\pi(2k+1)}{2k(k+1)}]} > \sin{\frac{\pi}{2(k+1)}}[/tex]

Как доказваме,че това от ляво е в интервала [tex](0;\pi/2)[/tex]
а по тази следващата
[tex]\frac{\pi}{2} < \frac{x}{\sin{x}} + \frac{x}{tg{x}} < 2[/tex]
Преобразуваме израза по средата до [tex]x.cotg{\frac{x}{ 2} }[/tex]
и според мен трябва да се разгледа така [tex]\frac{\pi}{2x}<cotg{\frac{x}{ 2} }[/tex] като и 2те функции са намаляващи
Ама нещо запецвам Или нямам знанията,или в момента са се скрили в кратуната ми
Надявам се нещо само да не съм объркал ... Мерси предварително

[0xdeadbeef]

Това което съм написал за [tex](**)[/tex] не е вярно! Щеше да е вярно,ако синус намаляваше. Явно да се решават задачи след 12ч. не е много полезно. Все пак [tex](**)[/tex] трябва да е вярно, ще помисля как да го докажа.

[Mr.G{}{}Fy]

Това което съм написал за [tex](**)[/tex] не е вярно! Щеше да е вярно,ако синус намаляваше. Явно да се решават задачи след 12ч. не е много полезно. Все пак [tex](**)[/tex] трябва да е вярно, ще помисля как да го докажа.

А може ли отговор на въпроса ми как се доказва,че онова е Елеменот от 0 до пи

[dimy93]

[tex]\small(*) \sin{[\frac{\pi(2k+1)}{2k(k+1)}]} > \sin{\frac{\pi}{2(k+1)}}[/tex]

Как доказваме,че това от ляво е в интервала [tex](0;\pi/2)[/tex]
а по тази следващата
[tex]\frac{\pi}{2} < \frac{x}{\sin{x}} + \frac{x}{tg{x}} < 2[/tex]
Преобразуваме израза по средата до [tex]x.cotg{\frac{x}{ 2} }[/tex]
и според мен трябва да се разгледа така [tex]\frac{\pi}{2x}<cotg{\frac{x}{ 2} }[/tex] като и 2те функции са намаляващи
Ама нещо запецвам Или нямам знанията,или в момента са се скрили в кратуната ми
Надявам се нещо само да не съм объркал ... Мерси предварително

И аз стигнах до там и доказах дясната страна благодарение на [tex]tgx > x[/tex]<=> [tex]cotgx<\frac{1}{ x}[/tex] при [tex]x\in (0;\frac{\pi }{2 } )[/tex]

[dimy93]

Това което съм написал за [tex](**)[/tex] не е вярно! Щеше да е вярно,ако синус намаляваше. Явно да се решават задачи след 12ч. не е много полезно. Все пак [tex](**)[/tex] трябва да е вярно, ще помисля как да го докажа.

А може ли отговор на въпроса ми как се доказва,че онова е Елеменот от 0 до пи

[tex]\sin{[\frac{\pi(2k+1)}{2k(k+1)}]}[/tex]
[tex]0<\frac{(2k+1)}{k(k+1)} < 1[/tex]при [tex]k \ge 2[/tex]

[0xdeadbeef]

Май няма да мине без производна или поне аз не се сещам за друг начин за доказване на [tex]\small(**)[/tex].

[tex]k\sin{\frac{\pi}{2k(k+1)}} > \sin{\frac{k\pi}{2k(k+1)}}[/tex], означаваме [tex]\gamma =\frac{\pi}{2k(k+1)[/tex], ще докажем, че [tex]k\sin{\gamma}-\sin{k\gamma} > 0[/tex].
[tex]f(\gamma) = k\sin{\gamma}-\sin{k\gamma}[/tex], [tex]f'(\gamma) = k\cos{\gamma}-k\cos{k\gamma}= k(\cos{\gamma}-\cos{k\gamma}) > 0[/tex] (понеже косинус е намаляваща в [tex](0,\frac{\pi}{2}), k\gamma > \gamma[/tex] и [tex]\gamma \in (0,\frac{\pi}{2})[/tex]) [tex]\Rightarrow f(\gamma)\uparrow[/tex] в [tex](0,\frac{\pi}{2})[/tex]и [tex]f(\gamma) > f(0) = 0[/tex]

За тези които са решили, че са "блъскали" достатъчно върху последното неравенство (с тангенса), могат да видят няколко решения тук.

[dimy93]

там пак има производни - щом съм доказал 1та страна според мен ще успея и другата без производни

[0xdeadbeef]

(4т.)Задача 15.Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението [tex](a^2 + a -6)2^x + 2^{-x} = 2a[/tex] има един положителен и един отрицетелен корен.

(4т.)Задача 16.В правоъгълния триъгълник [tex]ABC[/tex] от върха на правия ъгъл [tex]ACB[/tex] са спуснати височината [tex]CH[/tex] и медианата [tex]CM[/tex]. Известно е, че [tex]CM=\frac{\sqrt{17}}{2}[/tex] и [tex]\sin{\angle HCM } = \frac{8}{17}[/tex]. Да се намерят катетите на дадения триъгълник.

[dimy93]

16.
Нека[tex]\angle ABC>\angle BAC[/tex] => [tex]\angle MCH = 2\angle ABC-90^\circ[/tex]
[tex]sin\angle MCH=sin(2\angle ABC-90^\circ) =-cos(2\angle ABC)=2sin^2\angle ABC-1=\frac{8}{17 }[/tex]
=>[tex]sin\angle ABC=\frac{5}{ \sqrt{34} }=\frac{AC}{ AB}=\frac{AC}{2CM } =\frac{AC}{\sqrt{17} }[/tex]=>[tex]AC=\frac{5}{\sqrt{2} }[/tex]=>[tex]BC=\frac{3}{\sqrt{2}}[/tex]
Ако [tex]\angle ABC<\angle BAC[/tex] [tex]BC=\frac{5}{\sqrt{2} }[/tex][tex]AC=\frac{3}{\sqrt{2}}[/tex]

[dimy93]

15.[tex]m = 2^x[/tex] =>
[tex]0<m1<1<m2[/tex]
[tex]m(a^2+a-6)+\frac{1}{ m} =2a|*m>0[/tex]
[tex](a^2+a-6)m^2-2am+1=0[/tex]
Ако [tex]a=2 || a=-3[/tex] => има само 1 корен за m => [tex]a\ne 2,-3[/tex]
m1<1<m2 <=> [tex](a^2+a-6)f(1) < 0[/tex]
0<m1<m2 <=> [tex]D > 0 \cap (a^2+a-6)f(0)>0 \cap \frac{a}{a^2 +a-6} >0[/tex]
От [tex](a^2+a-6)f(1) < 0[/tex] => D>0 така че трябва да решим системата:
[tex](a^2+a-6)>0[/tex]<=>[tex]a\in (-\infty;-3)\cup (2;+\infty )[/tex]
[tex](a^2+a-6)(a^2-a-5)<0[/tex]<=>[tex](a^2-a-5)<0[/tex]
[tex]\frac{a}{a^2 +a-6} >0[/tex]<=>a>0
Системата става :
[tex]a\in (2;+\infty )[/tex]
[tex]a\in (\frac{1-sqrt{21}}{2};\frac{1+sqrt{21}}{2})[/tex]
Отговор [tex]a\in (2;\frac{1+sqrt{21}}{2})[/tex]

[0xdeadbeef]

(5т.)Задача 17. Докажете, че [tex](1-a)^n \ge 1 - na[/tex], където [tex]0 \le a < 1, n \in \mathbb{R}[/tex].
(5т.)Задача 18. Основите на трапец имат дължина [tex]4a[/tex] и [tex]a[/tex]. Средата на всяка от тях е съединена с краищата на другата основа и получените отсечки се пресичат в точките [tex]K[/tex] и [tex]P[/tex]. Да се намери дължината на отсечката [tex]KP[/tex].

[dimy93]

18.Нека трапеца е ABCD с основи AB = 4a и CD =a.Нека M и N са среди съответно на AB и CD.Нека [tex]AN \cap DM = K[/tex] и [tex]BN \cap CM = L[/tex].
[tex]\angle AMK = \angle MDN[/tex](AB||MN) и [tex]\angle AKM =\angle DKN[/tex](връхни) =>[tex]\Delta AMK \approx \Delta NDK[/tex] => [tex]\frac{AK}{ KN} = \frac{AM}{DN } = \frac{2a}{\frac{a}{ 2} } = 4[/tex](**)
Аналогично [tex]\frac{BL}{ NL} = 4[/tex](*).
От (*) и (**) по обратната на Талес => KL||AB.От следствието на Талес => [tex]\frac{KL}{AB } = \frac{NK}{NA } =\frac{1}{5 }[/tex] =>[tex]KL = \frac{4a}{5 }[/tex]

[0xdeadbeef]

Чертеж, към решението на @dimy93.

[0xdeadbeef]

Точките до момента. Поздрави за @ganka simeonova.
Понеже точките за 17-та задача се оказват определящи, за временното класиране, ще и дам още малко време.

[vel.angelov]

зад.17
Ще докажем че задачата не е правилно зададена:
контрапример: [tex]a=0,5 n=0,5[/tex]
[tex]=>\frac{\sqrt{2} }{2 } \ge 0.75[/tex]
[tex]\sqrt{2} \ge 1,5[/tex] което не е вярно
Предполагаме че [tex]n\in N[/tex]
1н.Неравенството следва директно от неравенство на Бернули.
2н.Очевидно [tex](1-a)^{0}\ge 1-0.a[/tex]
Нека [tex](1-a)^{k}\ge 1-ka[/tex]
Тогава
[tex](1-a)^{k+1}=(1-a)(1-a)^{k}\ge (1-a)(1-ka)=1-ka-a+ka^{2}\ge 1-(k+1)a[/tex]
защото [tex]k>0[/tex] и [tex]a^{2}\ge 0[/tex]
От ММИ следва неравенството за [tex]n\in N[/tex]
от тук получаваме че може [tex]a<-1[/tex]
3н.
От формула на Нютон за бином имаме:
за [tex]a\in[0,1)[/tex]
[tex](1-a)^{n}=\sum_{i=0}^{n } C_{n}^{i}(-a)^{i}=1-na+\sum_{i=2}^{ n}C_{n}^{i}(-a)^{i} \ge 1-na[/tex]
Последното не е трудно да се види

[0xdeadbeef]

Oопс... Извинявам се, за тази неточност! Ще внимавам повече за напред! @vel.angelov, благодаря за поправката.

[ganka simeonova]

Точките до момента. Поздрави за @ganka simeonova.

tautochrone, при цялото ми уважение, но ме изключи от класацията:)
Аз пиша за удоволствие, когато ми хареса някоя задача
Състезавайте се вие, младите умове

[0xdeadbeef]

Някой има ли желание да предложи нови задачи?

[baroveca]

Някой има ли желание да предложи нови задачи?

Аз искам да предложа задачи.

[dimy93]

viewtopic.php?f=10&t=6050
ако искате тази стереометрия-давам и около 7т
Който я решава обаче ще трябва да предложи и чертеж че иначе нищо не става

[baroveca]

Ето и от мен две задачи:
19.Намерете стойностите на реалния параметър а, за които уравнението [tex]lg(2x^2-4(a-2)x+8+2a)=lg(x^2-2ax+a)[/tex] има единствен корен. 4 точки
20.Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които уравнението [tex]9^{-|x-2|}-4a.3^{-|x-2|}+a=0[/tex] има корен. 6 точки

[prodanov]

20.
[tex]-|x-2|\le 0\\let\vspace{} t = 3^{-|x-2|} \le 1\\
t^2 - 4at + a = 0\\
D=4a(4a-1) \ge 0 \Leftrightarrow a \in (-\infty, 0] \cup [\frac14, +\infty);\vspace{} t_0=2a\\

f(1)\le0\vspace{} \cup\vspace{} \begin{tabular}{|l}t_0<1\\f(1)\ge0\end{tabular} \Leftrightarrow a \in (-\infty, 0] \cup [\frac14, +\infty)[/tex]

19.
[tex]D(x): x \in (-\infty, 0) \cup(5, +\infty);\\2x^2 - 4ax + 8x + 8 + 2a = x^2 - 2ax + a;\\
x^2-2ax + 8 + a=0\\
\begin{tabular}{|l}D>0\\f(0) \ge 0\\ f(5) < 0 \end{tabular}\vspace{} \cup \vspace{} \begin{tabular}{|l}D>0\\f(0)<0\\f(5)\ge0 \end{tabular} \vspace{}\cup\vspace{}\begin{tabular}{|l}D=0\\x_0<0\end{tabular} \vspace{}\cup\vspace{}\begin{tabular}{|l}D=0\\x_0>5 \end{tabular}[/tex]