Конкурсна тема

[v1rusman]

Еми ще видим някой друг какво получава за 7-ма, а за 10-та в моето решение съм разгледам подкоренната величина >=0 и пак ми се получават тези отговори. Не е ли така ?

[0xdeadbeef]

Аз също получавм тези отговори на 10-та.

[baroveca]

Аз на 8 задача получавам,че x=a/2, a [tex]S=\frac{a^2h}{ 4(a-b)}[/tex] Вярно ли е? А за 7 задача и аз мисля,че ще са 2 случая.

[0xdeadbeef]

Аз на 8-ма ги изкарах [tex]S=\frac{ha^2}{ 4(a-b)}[/tex] или [tex]S=bh[/tex]

[v1rusman]

За стереометричната 9-та някой направи ли нещо ?

[0xdeadbeef]

Търсеното разстояние е рaзстоянието от т. [tex]B[/tex] до ортогоналната проекция на [tex]DB_1[/tex] върху равнината [tex](ABB_1A_1)[/tex]. Поне аз така го виждам.

Относно 8-ма задача, понеже има разминаване в отговорите ще напиша схемата на моето решение.
1. Определяме ДМ на [tex]x[/tex], което е [tex]x \in [b,a)[/tex].
2. Построяваме височината през т. C, разглеждаме подобни триъгълници и намираме другата страна на правоъгълника като функция на [tex]x[/tex].
3. [tex]S = f(x)[/tex]
4. Изследваме [tex]f(x)[/tex], като намираме, че достига максимум в т. [tex]x_0 = \frac{a}{2}[/tex].
5. Разглеждаме случаите когато [tex]\frac{a}{2} \in [b,a)[/tex] и [tex]\frac{a}{2} \notin [b,a)[/tex].

Предполагам разминаването идва в т.5

[prodanov]

То ортогоналната ѝ е [tex]B_1A[/tex], сиреч да се търси височината от В в [tex]\Delta ABB_1[/tex]? Едва ли е толко лесна.

[tex]DB_1BC=?[/tex]

нека [tex]A[/tex] е векторна база. [tex]\vec{AB}=\vec a; \vec{AD}=\vec b; \vec{AA_1} = \vec c; |\vec a| = |\vec b| = 1[/tex]
нека [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са съответно точки от [tex]BC[/tex] и [tex]DB_1[/tex], такива че [tex]MN[/tex] е търсеното разстояние, a [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] такива, че [tex]x\vec{DB_1} = \vec{NB_1}[/tex] и [tex]y\vec{CB} = \vec{MB}[/tex]
([tex](1*)\Rightarrow MN \bot DB_1; MN \bot BC[/tex]);
права призма [tex]\Rightarrow \vec a.\vec c = \vec a.\vec b = \vec b.\vec c = 0[/tex]
[tex]\vec{DB_1} = -\vec b + \vec a + \vec c \uparrow\\
\vec{DB_1}^2 = \vec{b^2} + \vec{a^2} + \vec{c^2} \Leftrightarrow \vec{c^2} = 7 \Rightarrow |\vec c| = \sqrt7\\
\vec{MN} = y\vec{CB} + \vec {BB_1} + x\vec{B_1D} = -y\vec b + \vec c + x(-\vec c - \vec a + \vec b) = \vec c(1-x) + \vec b(x-y) -x\vec a[/tex]
от[tex](1*)\Rightarrow \begin t{|l}\vec{DB_1}.\vec{NM} = 0\\\vec{BC}.\vec{NM}=0\end{t} \Leftrightarrow \begin t{|l}(-\vec b+ \vec a+\vec c)[\vec c(1-x) + \vec b(x-y) -x\vec a]=0\\ \vec b[\vec c(1-x) + \vec b(x-y) -x\vec a]=0\end{t} \Leftrightarrow \begin t{|l}y-9x +7=0\\x-y=0\end{t} \Leftrightarrow x=y=\frac78[/tex]
[tex]\Rightarrow \vec{MN} = \frac18\vec c - \frac78\vec a \uparrow\\
\vec{MN}^2 = \frac7{64} + \frac{49}{64} = \frac78 \Rightarrow MN = \frac{\sqrt{14}}4[/tex]