Кандидат-студентски задачи

[baroveca]

20.
[tex]-|x-2|\le 0\\let\vspace{} t = 3^{-|x-2|} \le 1\\
t^2 - 4at + a = 0\\
D=4a(4a-1) \ge 0 \Leftrightarrow a \in (-\infty, 0] \cup [\frac14, +\infty);\vspace{} t_0=2a\\

f(1)\le0\vspace{} \cup\vspace{} \begin{tabular}{|l}t_0<1\\f(1)\ge0\end{tabular} \Leftrightarrow a \in (-\infty, 0] \cup [\frac14, +\infty)[/tex]

19.
[tex]D(x): x \in (-\infty, 0) \cup(5, +\infty);\\2x^2 - 4ax + 8x + 8 + 2a = x^2 - 2ax + a;\\
x^2-2ax + 8 + a=0\\
\begin{tabular}{|l}D>0\\f(0) \ge 0\\ f(5) < 0 \end{tabular}\vspace{} \cup \vspace{} \begin{tabular}{|l}D>0\\f(0)<0\\f(5)\ge0 \end{tabular} \vspace{}\cup\vspace{}\begin{tabular}{|l}D=0\\x_0<0\end{tabular} \vspace{}\cup\vspace{}\begin{tabular}{|l}D=0\\x_0>5 \end{tabular}[/tex]

Довърши задачата докрай!

[prodanov]

[tex]\begin{tabular}{|l}a \notin [\frac{1-\sqrt{33}}2, \frac{1+\sqrt{33}}2]\\a \ge -8\\ a > \frac{33}9 \end{tabular}\vspace{} \cup \vspace{} \begin{tabular}{|l}a \notin [\frac{1-\sqrt{33}}2, \frac{1+\sqrt{33}}2]\\a<-8\\a\le\frac{33}9 \end{tabular} \vspace{}\cup\vspace{}\begin{tabular}{|l}a =\<\frac{1-\sqrt{33}}2, \frac{1+\sqrt{33}}2\>\\a<0\end{tabular} \vspace{}\cup\vspace{}\begin{tabular}{|l}a = \<\frac{1-\sqrt{33}}2, \frac{1+\sqrt{33}}2\>\\a>5 \end{tabular}\\

a \in (-\infty, -8) \cup \{\frac{1-\sqrt{33}}2\} \cup (\frac{33}9, +\infty);[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

20.
[tex]-|x-2|\le 0\\let\vspace{} t = 3^{-|x-2|} \le 1\\
t^2 - 4at + a = 0\\
D=4a(4a-1) \ge 0 \Leftrightarrow a \in (-\infty, 0] \cup [\frac14, +\infty);\vspace{} t_0=2a\\

f(1)\le0\vspace{} \cup\vspace{} \begin{tabular}{|l}t_0<1\\f(1)\ge0\end{tabular} \Leftrightarrow a \in (-\infty, 0] \cup [\frac14, +\infty)[/tex]

19.
[tex]D(x): x \in (-\infty, 0) \cup(5, +\infty);\\2x^2 - 4ax + 8x + 8 + 2a = x^2 - 2ax + a;\\
x^2-2ax + 8 + a=0\\
\begin{tabular}{|l}D>0\\f(0) \ge 0\\ f(5) < 0 \end{tabular}\vspace{} \cup \vspace{} \begin{tabular}{|l}D>0\\f(0)<0\\f(5)\ge0 \end{tabular} \vspace{}\cup\vspace{}\begin{tabular}{|l}D=0\\x_0<0\end{tabular} \vspace{}\cup\vspace{}\begin{tabular}{|l}D=0\\x_0>5 \end{tabular}[/tex]

Как в 19 зад. определяме от началото ДС,че не ми е ясно Извинявам се за може би тъпия въпрос
А в 20 зад. не трябва ли и f(0)>0 ???

[prodanov]

19та е грешна. 2ри опит:
[tex]D(x): \begin{tabular}{|l}\forall x: 2x^2-4(a-2)x+8+2a > 0\\\forall x: x^2-2ax+a>0\end{tabular} \leftrightarrow a \in (0,1)\\
2x^2-4ax+8x+8+2a = x^2-2ax+a\\
x^2+2(4-a)x+a+8 = 0\\[/tex]
т.е единствено решение при [tex]f(0)f(1)<0[/tex]
Как и да го гледам тва, няма решение в (0,1). Утре пак на трезво.
За 20та не те знам що работиш с нулата.

Баровец, дай отговорите на тия задачки.

[dimy93]

НЕ ТРЯБВА

19та е грешна. 2ри опит:
[tex]D(x): \begin{tabular}{|l}\forall x: 2x^2-4(a-2)x+8+2a > 0\\\forall x: x^2-2ax+a>0\end{tabular} \leftrightarrow a \in (0,1)\\
[tex][/tex]

да е за всяко x а само за решенията
освен това само 1то стига

[dimy93]

Аз имам идея за 19та :
[tex]\begin{tabular}{|l}x^2-2ax+a>0\\
x^2+2(4-a)x+a+8 = 0\\\end{tabular}[/tex]
трябва да намерим a за които има 1 корен :
Нека решенията на уравнението са x1 и x2 -от Виет =>
[tex]x_1*x_2=a+8[/tex] и [tex]x_1+x_2 = 2a-8[/tex]
За да има 1 корен или D = 0 ( a = 1 е решение ) или
[tex]\begin{tabular}{|l}(x_1^2-2ax_1+a)(x_2^2-2ax_2+a)<0\\
a^2-9a+8>0\\\end{tabular}[/tex]
Трябва и отделно да проверим [tex]x_1^2-2ax_1+a = 0[/tex] и [tex]x_2^2-2ax_2+a > 0[/tex]([tex]a=-\frac{1}{3}[/tex] e решение)
Но не мога да я довърша сега така че моля не я решавайте по моя начин поне до утре на обяд

[dimy93]

[tex](x_1^2-2ax_1+a)(x_2^2-2ax_2+a)<0\\
(x_1x_2)^2+a(x_1^2+x_2^2)-2x_1x_2a(x_1+x_2)+4x_1x_2a^2-2a^2(x_1+x_2)+a^2<0\\
(a+8)^2+a((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)-2(a+8)a(2a-8)+4(a+8)a^2-2a^2(2a-8)+a^2<0\\
a^2+16a+64+a((2a-8)^2-2(a+8))-2a(2a^2+8a-64)+(4a^3+32a^2)+(-4a^3+16a^2)+a^2<0\\
50a^2+16a+64+a(4a^2-34a+48)+(-4a^3-16a^2+128a)<0\\
-4a^3 +34a^2+144a+64+4a^3-34a^2+48a<0\\
192a+64<0\\
3a+1<0\\
a<-\frac{1}{3 }[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}(x_1^2-2ax_1+a)(x_2^2-2ax_2+a)<0\\
a^2-9a+8>0\\\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|l}a<-\frac{1}{3 }\\
a\in (-\infty ;1)\cup(8;+\infty ) \\\end{tabular}[/tex]
Краен отговор:
[tex]a\in (-\infty; -\frac{1}{3 }] \cup \{1\}[/tex]

[dimy93]

20.наисина f(0) не виждам никъде в решението -т.e грешно е -вярната система е
[tex]f(0)*f(1)\le 0[/tex](хубаво е да се провери какво става точно при равенството) или [tex]\begin{tabular}{|l}f(0)>0\\f(1)\ge 0\\0<to\le 1\\D\ge 0\end{tabular}[/tex]
[tex]f(0)*f(1)\le 0\\
a(3a-1)\ge 0\\
a\in (-\infty;0 )\cup [\frac{1}{ 3} ;+\infty )[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}f(0)>0\\f(1)\ge 0\\0<to\le 1\\D\ge 0\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}a>0\\1-3a\ge 0\\0<2a\le 1\\4a^2-a\ge 0\end{tabular}\\[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}a\in (0;\frac{1}{3 }]\\a\in (0;\frac{1}{2 }]\\a(4a-1)\ge 0\end{tabular}\\[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}a\in (0;\frac{1}{3 }]\\(4a-1)\ge 0\end{tabular}[/tex]

[tex]a\in [\frac{1}{ 4} ;\frac{1}{3 }][/tex]
Краен отговор :
[tex]a\in (-\infty;0 )\cup [\frac{1}{ 4} ;+\infty )[/tex] ,който в случая е същият ,но в общият случай щеше да се окаже различен

[dimy93]

Задача 21.Куб ABCDA1B1C1D1 с дължина на ръба a е пресечен с 2 равнини.1вата минава през средите на AB и BC и е успоредна на BD1.2рата минава през B1 и е перпендикулярна на BD1.Намерете дължината на отсечката обща за 2тте сечения.
Отговор : [tex]\frac{5\sqrt{2}a }{ 6}[/tex]
Решението изисква чертеж ,така че не се пестете - 7т.
Задача 22.Куб ABCDA1B1C1D1 с дължина на ръба a е пресечен с равнина.Тя минава през [tex]A_0[/tex] ,такава че [tex]\vec{AA_0} = k *\vec{AA_1}(k \in [0;1])[/tex] и е перпендикулярна на BD1.Намерете лицето на сечението и намерете за кое k то е най-голямо.
Решението изисква чертеж ,така че не се пестете - 8т.

[dimy93]

Понеже виждам ,че не ви харесва стереометрията
Задача 23:Намерете целите p за които :
[tex]sin2x+p*cosx=\frac{2p}{cosx }[/tex] има решение (6т.)

[Mr.G{}{}Fy]

Понеже виждам ,че не ви харесва стереометрията
Задача 23:Намерете целите p за които :
[tex]sin2x+p*cosx=\frac{2p}{cosx }[/tex] има решение (6т.)

[tex]sin2x+p*cosx=\frac{2p}{cosx }[/tex]

ДС:[tex]x\ne {\frac{\pi}{2 } +2k\pi}[/tex]

общ знаменател ...

[tex]2cos^2x.sinx+p.cos^2x=2p[/tex]

[tex]sinx=\frac{p(2-cos^2x)}{2cos^2x }[/tex]

[tex]-1\le \frac{p(2-cos^2x)}{2cos^2x }\le 1[/tex]
от Лявото неравенство

[tex]-2cos^2x<p(2-cos^2x) ===> p<-\frac{2cos^2x}{ 2-cos^2x}[/tex]

Минимумът на [tex]-\frac{2cos^2x}{ 2-cos^2x}[/tex] е [tex]=-2[/tex] при [tex]x=k\pi[/tex],а максимумът 0 при тези стойности,които са недопустими

От Дясното неравенство [tex]p<\frac{2cos^2x}{ 2-cos^2x}[/tex] Минумът и максимумят на израза от дясно са [tex]0[/tex] и [tex]2[/tex]

т.е. От 2те неравенства установяваме,че [tex]-2\le p\le 2[/tex]
т.е. [tex]p=-2,-1,0,1,2[/tex]
Сега проверяваме всяко по отделно
при [tex]-2[/tex] и [tex]2[/tex] няма решения,тъй като от неравенствата следва,че [tex]-2[/tex] и [tex]2[/tex] се достигат само при [tex]x=k\pi[/tex] и като заместим установяваме,че не удовлетворяват уравнението (може и да се замести в израза [tex]p[/tex]с [tex]-2[/tex] и [tex]2[/tex] и е очевидно,че няма решения)
при[tex]p=-1,1[/tex] очевидно пак няма решение
при [tex]p=0[/tex] уравнението придобива вида [tex]sin2x=0[/tex],което има 2 корена единият ,от които не е допустима стойност,а другият е т.е. има решение [tex]x=k\pi[/tex]
Ако може и dimy93 да пусне решението си,тъй като преполагам,че е по-лесничко от моето

[0xdeadbeef]

[tex]\sin{2x} +p\cos{x}=\frac{2p}{cos{x}}[/tex] [tex]\small(*)[/tex].
От [tex]\small(*)[/tex] изразяваме [tex]p= \frac{\sin{2x}.\cos{x}}{2 - \cos^2{x}} = \frac{2\sin{x}.cos^2{x}}{2 - cos^2{x}} = \frac{2\sin{x}(1 - sin^2{x})}{2 - (1-sin^2{x})} = 2\frac{\sin{x}(1 - sin^2{x})}{1 + sin^2{x}}.[/tex].
[tex]p=f(t)[/tex], където [tex]f(t) = 2\frac{t(1 - t^2)}{1 + t^2}[/tex] и [tex]t=\sin{x}[/tex]. Сега търсим целите числа от множеството от стойностите на [tex]f(t)[/tex] в интервала [tex]t \in [-1,1][/tex] (по-късно ще се интересуваме от дефиниционното множество). По стандартния начин установяваме, че [tex]f(x)\uparrow[/tex] за [tex]t \in (-\sqrt{\sqrt{5}-2},\sqrt{\sqrt{5}-2})[/tex], [tex]f(x)\downarrow[/tex] за [tex]t\in(-1, -\sqrt{\sqrt{5}-2})\cup(\sqrt{\sqrt{5}-2}, +1)[/tex], [tex]f_{min} = f(-\sqrt{\sqrt{5}-2}) = \sim -0.6[/tex] и [tex]f_{max} = f(sqrt{\sqrt{5}-2}) = \sim 0.6[/tex]. Т.е [tex]p \in [f_{min}, f_{max}][/tex], [tex]0[/tex] е единственото чяло число в този интервал, следователно [tex]p=0[/tex] е единствено решение.
След заместване с [tex]p=0[/tex] в [tex]\small(*)[/tex] имаме [tex]\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}=0[/tex], решенията на това уравнение са решенията на уравненията [tex]cos{x} = 0[/tex] и [tex]\sin{x}=0[/tex], но решенията на [tex]cos{x}=0[/tex] са извън дефиниционното множество на [tex]\small(*)[/tex], тогава ни интересуват само решенията на [tex]\sin{x} = 0[/tex], които са [tex]x=n\pi, n\in \mathbb{Z}[/tex].

[0xdeadbeef]

Прилагам таблицата с разултатите до момента. Браво на @dimy93!
Btw xубаво ще е да има решения на задачи 21 и 22.

[dimy93]

Задача 24(Планиметрия):Дадено:[tex]\Delta ABC[/tex],M-медицентър,[tex]A_1,B_1[/tex]-среди съответно на BC и AC,[tex]\angle AMB = \gamma_1[/tex],[tex]\angle ACB = \gamma[/tex],AB=c,BC=a,AC=b,[tex]S\Delta ABC=S[/tex]
a)[tex]\gamma_1=?[/tex] , ако [tex]3S=AA_1*BB_1[/tex] (1т)
б)Докажете: [tex]cotg\gamma -cotg\gamma_1=\frac{a^2+b^2+c^2}{6S }[/tex](3т)
в)Ако [tex]\gamma +\gamma_1=\pi[/tex] ,докажете [tex]\gamma \le \frac{\pi}{3 }[/tex].Какъв е триъгълника при [tex]\gamma = \frac{\pi}{3 }[/tex] и [tex]\gamma_1 = \frac{2\pi}{3 }[/tex]?(3т)

[0xdeadbeef]

Една за бързи 3 точки

(3т.)Задача 25. Решете уравнението [tex](\sqrt{2}+1)^{x}+(\sqrt2-1)^{x}=6[/tex]

[dimy93]

Една за бързи 3-точки

(3т.)Задача 25. Решете уравнението [tex](\sqrt{2}+1)^{x}+(\sqrt2-1)^{x}=6[/tex]

[tex](\sqrt{2}+1)^{x} = m \in (0;+\infty )[/tex]
=>[tex](\sqrt2-1)^{x}=\frac{1}{m }[/tex]
[tex]m+\frac{1}{ m} =6|*m\\m^2-6m+1=0\\m_{1/2}=3\pm2\sqrt{2}=(\sqrt{2}\pm 1)^2[/tex]
[tex]x_{1/2}=\pm 2[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

tautochrone Мене не ме брой в класирането В смисъл такъв,че нямам намерение да се състезавам ...просто,ако видя нещо интересно(което мога да реша) и с по-кратко решение тогава може да отговарям,а иначе като идея е готино класирания,задачи Оусъм направо

[dimy93]

Задача 26(Любопитна):Да се докаже че от произволни 13 числа могат да се изберат 2 -x и y такива ,че
[tex]0\le \frac{x-y}{ 1+xy} <\frac{\sqrt{2-\sqrt{3} }}{ \sqrt{2+\sqrt{3} }}[/tex](7т)

[dimy93]

Задача 21.Куб ABCDA1B1C1D1 с дължина на ръба a е пресечен с 2 равнини.1вата минава през средите на AB и BC и е успоредна на BD1.2рата минава през B1 и е перпендикулярна на BD1.Намерете дължината на отсечката обща за 2тте сечения.
Отговор : [tex]\frac{5\sqrt{2}a }{ 6}[/tex]
Решението изисква чертеж ,така че не се пестете - 7т.

1во сечение:
Продължаваме MN до пресичане с AD,CD -т.E,F.[tex]MN\cap BD = K[/tex] , в [tex]BDB_1D_1[/tex] права през [tex]K || BD_1[/tex] до пресичане с [tex]DD_1[/tex] в точка R.[tex]RE\cap AA_1 = P[/tex],[tex]RQ\cap CC_1 = Q[/tex].MNPQR е първото сечение
Второто:
От теоремата за 3тте перпендикуляра => [tex]BD_1\bot AB1[/tex],[tex]BD_1\bot CB1[/tex],[tex]BD_1\bot AC[/tex]
второто сечение съдържа [tex]B_1[/tex] и [tex]BD_1\bot AB1[/tex] => A е от сечението-аналогично и C =>
Сечението е [tex]AB_1C[/tex]
пресечницата им е XY
От Талес за [tex]BD_1[/tex] и RK => [tex]ED= \frac{3a}{ 4}[/tex]
От Талес за AC и EF => [tex]ED= \frac{3a}{ 2}[/tex]
От Талес за PA и RD => [tex]PA= \frac{a}{ 4}[/tex]
Аналогично [tex]QC= \frac{a}{ 4}[/tex]
нека X1 е върху AB така че XX1 e перпендикулярна на AB
[tex]\frac{AX1}{AB } =\frac{AX}{ AB1}[/tex]
Талес: [tex]\frac{MX1}{MA }=\frac{MX}{ MP}[/tex]
С-во на ъглополовящата: [tex]\frac{PX}{XM }=\frac{AP}{AM }[/tex] => [tex]\frac{AX}{ AB1}=\frac{1}{6 }[/tex]
От там Талес за XY и AC =>[tex]XY = \frac{5\sqrt{2}a }{6 }[/tex]

[dimy93]

Задача 22.Куб ABCDA1B1C1D1 с дължина на ръба a е пресечен с равнина.Тя минава през [tex]A_0[/tex] ,такава че [tex]\vec{AA_0} = k *\vec{AA_1}(k \in [0;1])[/tex] и е перпендикулярна на BD1.Намерете лицето на сечението и намерете за кое k то е най-голямо.
Решението изисква чертеж ,така че не се пестете - 8т.

Първо извинявам се че на мястото на A0 съм писал P ,но чак сега го забелязвам
От th за 3те [tex]\bot[/tex] =>[tex]BD_1\bot AC[/tex] ,[tex]BD_1\bot AD_1[/tex] ,[tex]BD_1\bot CB_1[/tex] ,[tex]BD_1\bot AB_1[/tex],[tex]BD_1\bot DC_1[/tex],[tex]BD_1\bot A_1C_1[/tex]=>пресечниците на равнината с стените на куба са успоредни на 1 от 2тта диагонала на стените и от там е ясно как се чертае сечението-не ми се описва сега
O1 -среда на QR =>[tex]O_1\in B_1D_1[/tex],[tex]O = np^{\bot}_{ABCD}O_1[/tex]. [tex]BD = np^{\bot}_{ABCD}B_1D_1[/tex] => [tex]O\in BD[/tex].Петата на височина от O1 към NM е H.От няколко равнобедрени триъглници по стените на куба намираме [tex]B_1Q=B_1R=k*a=BQ_0=BR_0[/tex]([tex]Q = np^{\bot}_{ABCD}Q_0[/tex],[tex]R = np^{\bot}_{ABCD}R_0[/tex])
[tex]NMQR = np^{\bot}_{ABCD}NMQ_0R_0[/tex],но [tex]NMQ_0R_0[/tex]-равнобедрен трапец =>NMQR-равнобедрен трапец=>[tex]O_1H[/tex] - височина от средата на равнобедрен трапец => H-среда на NM =>[tex]H\in BD[/tex]
От подобните ACB и [tex]Q_0R_0B[/tex] и подобните DMN и DAC=>
[tex]BO =\frac{\sqrt{2}ka}{ 2} \\BH =\frac{\sqrt{2}(1-k)a}{ 2}[/tex] =>[tex]OH = \frac{\sqrt{2}a }{ 2}[/tex]
От правоъгълният [tex]\Delta HO_1O[/tex]=>[tex]tg\angle OHO_1 = \frac{OO_1}{OH }= \sqrt{2}[/tex]=>[tex]cos\angle OHO_1= \frac{\sqrt{3} }{ 3}[/tex]
[tex]MNPQRS = np^{\bot}_{ABCD}MNACQ_0R_0[/tex] =>[tex]SMNPQRS=\frac{ SMNACQ_0R_0}{cos\angle OHO_1 }= \sqrt{3} (SABCD -SMND-SBQ_0R_0)=\sqrt{3}(a^2-\frac{(1-k)^2a^2}{ 2} -\frac{k^2a^2}{ 2})=\\=\frac{\sqrt{3}}{ 2}a^2(2-(1-2k+k^2) -k^2)=\frac{\sqrt{3}}{ 2}a^2(-2k^2+2k+1)[/tex]-фукцията приема максимум при [tex]k =\frac{1}{ 2}[/tex]

[0xdeadbeef]

Задача 24(Планиметрия):Дадено:[tex]\Delta ABC[/tex],M-медицентър,[tex]A_1,B_1[/tex]-среди съответно на BC и AC,[tex]\angle AMB = \gamma_1[/tex],[tex]\angle ACB = \gamma[/tex],AB=c,BC=a,AC=b,[tex]S\Delta ABC=S[/tex]
a)[tex]\gamma_1=?[/tex] , ако [tex]3S=AA_1*BB_1[/tex] (1т)
б)Докажете: [tex]cotg\gamma -cotg\gamma_1=\frac{a^2+b^2+c^2}{6S }[/tex](3т)
в)Ако [tex]\gamma +\gamma_1=\pi[/tex] ,докажете [tex]\gamma \le \frac{\pi}{3 }[/tex].Какъв е триъгълника при [tex]\gamma = \frac{\pi}{3 }[/tex] и [tex]\gamma_1 = \frac{2\pi}{3 }[/tex]?(3т)

Първо ще отбележим, че трите медиани и медицентъра разделят триъгълник [tex]ABC[/tex] на 6 равнолицеви части с лице [tex]Q[/tex] и [tex]AM=\frac{2}{3}AA_1=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}; BM=\frac{2}{3}BB_1=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\sqrt{2a^2 +2c^2 - b^2}[/tex].

a) [tex]S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} AM . BM \sin{\gamma_1}= \frac{1}{2}.\frac{2}{3} AA_1 \frac{2}{3}BB_1 = \frac{2}{3}S[/tex] [tex]\small(1)[/tex] (oт условието имаме, че [tex]AA_1.BB_1 = 3S[/tex]). Oт казаното в началото става ясно, че [tex]S_{\triangle ABM} = 2Q = \frac{1}{3}S[/tex] [tex]\small(2)[/tex].
От [tex]\small(1)[/tex] и [tex]\small(2)[/tex], изразяваме [tex]\sin{\gamma_1} = \frac{1}{2}[/tex], от където намираме [tex]\fbox{\gamma_1=\frac{\pi}{6}}[/tex] или [tex]\fbox{\gamma_1 = \frac{5\pi}{6}[/tex]

б) Прилагаме косинусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex], от където [tex]\cos{\gamma} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}[/tex].
[tex]S = \frac{1}{2}ab\sin{\gamma}[/tex], от където [tex]\sin{\gamma} = 2\frac{S}{ab}[/tex].
[tex]cotg{\gamma} = \frac{\cos{\gamma}}{\sin{\gamma}} = \frac{ \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\cancel{ab}}}{2\frac{S}{\cancel{ab}}} = \frac{a^2 + b^2 -c^2}{4S}[/tex]. Аналогично за [tex]\triangle ABM[/tex]и предвид казаното в началото [tex]cotg{\gamma_1} =\frac{a^2 +b^2 -5c^2}{12S}[/tex].
[tex]cotg{\gamma} - cotg{\gamma_1} = \frac{a^2 + b^2 -c^2}{4S} - \frac{a^2 +b^2 -5c^2}{12S} = \fbox{\frac{a^2+b^2+c^2}{6S }}[/tex].

в) [tex]\gamma +\gamma_1=\pi \Leftrightarrow cotg{\gamma} = - cotg{\gamma_1} \Leftrightarrow \frac{a^2 + b^2 -c^2}{4S} = -\frac{a^2 +b^2 -5c^2}{12S} \Rightarrow a^2 + b^2 = 2c^2[/tex] [tex]\small(*)[/tex].
[tex]\cos{\gamma} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{a^2 + b^2}{4ab}[/tex] (предвид [tex]\small(*)[/tex]), понеже функцията косинус е намаляваща в [tex](0,\frac{\pi}{2})[/tex], то [tex]\gamma \le \frac{\pi}{3} \Leftrightarrow \cos{\gamma} = \frac{a^2 + b^2}{4ab} \ge \frac{1}{2}[/tex], което следва от СА-СГ.

[Mr.G{}{}Fy]

Хей Имам една питанка :тези неравенства между средно геометрично и средно аритметично учат ли се в училище ?
1 път бях питал учителката ми дали трябва да знам неравенството на Коши (тъй като го видях използвано доста често в сборник за кандидат-студенти) и тя ми каза,че от него някои работи следвали по-лесно (или нещо от сорта),но иначе се учело там във висшата математика...та въпроси ми е без тях става ли работата и ако става много ли е трудно ?

[dimy93]

Какъв е триъгълника при [tex]\gamma = \frac{\pi}{3 }[/tex] и [tex]\gamma_1 = \frac{2\pi}{3 }[/tex]?(3т)

Само това ти остана.Макар ,че е очевидно при написаното

[strangerforever]

Хей Имам една питанка :тези неравенства между средно геометрично и средно аритметично учат ли се в училище ?
1 път бях питал учителката ми дали трябва да знам неравенството на Коши (тъй като го видях използвано доста често в сборник за кандидат-студенти) и тя ми каза,че от него някои работи следвали по-лесно (или нещо от сорта),но иначе се учело там във висшата математика...та въпроси ми е без тях става ли работата и ако става много ли е трудно ?

[tex]\frac{a^2 + b^2}{4ab} \ge \frac{1}{2}[/tex]

[tex]a^2 + b^2 \ge 2ab[/tex]

[tex](a-b)^2 \ge 0[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Хей Имам една питанка :тези неравенства между средно геометрично и средно аритметично учат ли се в училище ?
1 път бях питал учителката ми дали трябва да знам неравенството на Коши (тъй като го видях използвано доста често в сборник за кандидат-студенти) и тя ми каза,че от него някои работи следвали по-лесно (или нещо от сорта),но иначе се учело там във висшата математика...та въпроси ми е без тях става ли работата и ако става много ли е трудно ?

[tex]\frac{a^2 + b^2}{4ab} \ge \frac{1}{2}[/tex]

[tex]a^2 + b^2 \ge 2ab[/tex]

[tex](a-b)^2 \ge 0[/tex]

Няма ли някакви по-сложни връзки,които да трябват ? Че не знам защо неравенствата ми изглеждат гаднички ... не че съм се хващал да ги решавам,ама на пръв поглед ...