ТУ - Сф

[Гост]

Моля, обяснете ми как се решават този тип задачи, че не съм наясно. Искам да ги схвана, така че ако може с обяснение кое как става и защо. :}

[tex]4sin^2\frac{x}{2}sin^2(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2})=3sinx-2[/tex]

[Гост]

Телефонен номер на офис се състои от седем различни помежду си цифри. Колко различни набирания най-много може да направи човек, който иска да се свърже с този офис, ако е забравил последните три цифри, но си спомня, че номерът започва с цифрите 9653?

[Гост]

Втората задача я реших. Остават ни 6 цифри и има 3 позиции, като редът е от значение => [tex]V_6^3=120[/tex]

[Xixibg]

Използваш 2 тригонометрични формули :[tex]sin{(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2})}=cos \frac{x}{2}[/tex] и [tex]2.sin {\frac{x}{2}}.cos {\frac{x}{2}}=sin x[/tex].
И задачата става квадратното уравнение:[tex]y^2-3y+2=0[/tex],където [tex]sin x=y ,(DM:y\in [-1;1])[/tex]

[Гост]

Как по-точно прилагаш ф-лата за понижаване на квадрата на sin ?

[Xixibg]

[tex]2.sin {\frac{x}{2}}.cos {\frac{x}{2}}=sin x[/tex]
[tex]=>4.sin^2 {\frac{x}{2}}.cos^2 {\frac{x}{2}}=sin^2 x[/tex]

[Гост]

[tex]sin^2(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2})[/tex]

Явно съм доста тъп, за да не те разбера отново..
^ Този квадрат на sin имах предвид как махаш, за да използваш ф-лата [tex]sin(90-\alpha )=cos\alpha[/tex]
[tex]sin^2(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2})> ...... >cos^2\frac{x}{2}[/tex]
Многоточието ми е тъмна Индия
Ще те помоля пак да разясниш. Нататък го разбрах всичко.

[Xixibg]

[tex]sin{(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2})}=cos {\frac{x}{2}}[/tex]
Повдигаш на квадрат........[tex]=>sin^2{(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2})}=cos^2 {\frac{x}{2}}[/tex]

[Гост]

Ясно, просто се абстрахирам от квадрата, прилагам си sin(90-α)=cosα, и си слагам пак квадрата. Благодаря :}


Да се реши уравнението:

[tex]\sqrt{\frac{10+x}{x}}-6\sqrt{\frac{x}{10+x}}=5[/tex]

Аз получавам едни огромни числа и не мисля, че съм на прав път с решаването на това уравнение. Смешното е, че след 3 листа изписани и никакъв резултат си помислих да се откажа и да я прескоча - то ми свърши химикалът. Дано някой желаещ я реши

[ganka simeonova]

Ясно, просто се абстрахирам от квадрата, прилагам си sin(90-α)=cosα, и си слагам пак квадрата. Благодаря :}


Да се реши уравнението:

[tex]\sqrt{\frac{10+x}{x}}-6\sqrt{\frac{x}{10+x}}=5[/tex]

Аз получавам едни огромни числа и не мисля, че съм на прав път с решаването на това уравнение. Смешното е, че след 3 листа изписани и никакъв резултат си помислих да се откажа и да я прескоча - то ми свърши химикалът. Дано някой желаещ я реши

Леле,... Положи: [tex]\sqrt{\frac{10+x}{ x} } =y>0[/tex]=>
[tex]y-\frac{6}{y } =5[/tex]...

[Гост]

[tex]x_1=\frac{10}{3} x_2=\frac{5}{4}[/tex] Но, не това е отговорът. А и не мога да разбера как полагате като са различни

[Гост]

Да се реши уравнението:

[tex]\sqrt{\frac{10+x}{x}}-6\sqrt{\frac{x}{10+x}}=5[/tex]

Успях да я реша! Сега ще я разпиша:


[tex]\sqrt{\frac{10+x}{x}}-6\sqrt{\frac{x}{10+x}}=5[/tex]

[tex](\sqrt{\frac{10+x}{x}}-6\sqrt{\frac{x}{10+x}})^2=(5)^2[/tex]

[tex]\frac{10+x}{x}+36\frac{x}{10+x}-2.6=25[/tex]

[tex]\frac{10+x}{x}+\frac{36x}{10+x}-12=25[/tex]

[tex]\underbrace{\frac{10+x}{x}+\frac{36x}{10+x}=37}_{x^2+10x}[/tex]

[tex]100+x^2+20x+36x^2=370x+37x^2[/tex]

[tex]100+\cancel {x^2}+20x+\cancel {36x^2}=370x+\cancel {37x^2}[/tex]

[tex]100=350x[/tex]

[tex]\frac{100}{350}=x[/tex]

[tex]\frac{2}{7}=x[/tex]

[amsara]

Полага се лесно, тъй като подкоренните величини са реципрочни дроби. Ама дадените отговори ще се получат, ако знакът пред шестицата в условието е +.

PS Това, че си получил някакъв х не значи, че той задължително е корен на зададеното по условие уравнение. Или трябва да заместиш и да получиш вярно числово равенство или трябва предварително да си определил ДМ за х, след което да провериш дали полученото за х принадлежи на интервала. Повдигането на квадрат не прави новото уравнение еквивалентно на първото.

[Гост]

Проверил съм го с [tex]\frac{2}{7}[/tex] и се получава. А ДМ e [tex]x \in 0[/tex].


Да се намерят корените на тригонометричното уравнение:

[tex]2cos^23x-cos4x-1=0[/tex]

Някой да помогне, ако обича, :} с едно решение, че тези тригонометричните са ми "любими".

[Гост]

А ДМ e [tex]x \in (0;+\infty)[/tex].

[Xixibg]

[tex]2cos^23x-cos4x-1=0[/tex]

[tex](2cos^23x-1)-cos4x=0[/tex]

[tex]cos6x-cos4x=0[/tex]

[tex]-2sin5x.sin2x=0[/tex]

[tex]x_1=\frac{k.\pi }{5} ; x_2=\frac{k.\pi }{2}[/tex]

[amsara]

А ДМ e [tex]x \in (0;+\infty)[/tex].

Аз не съм отрекла отговора ти. Казах просто,че едно от двете неща трябва да си написал в самото решение, за да е доказано корен този х. И за да сме точни, това не е вярното ДМ.

[tex]x \in (-\infty; -10] \cup (0; +\infty)[/tex]

[Гост]

@amsara - Да, това е. Моят е грешен :}

[tex]2cos^23x-cos4x-1=0[/tex]

[tex](2cos^23x-1)-cos4x=0[/tex]

[tex]cos6x-cos4x=0[/tex]

[tex]-2sin5x.sin2x=0[/tex]

[tex]x_1=\frac{k.\pi }{5} ; x_2=\frac{k.\pi }{2}[/tex]

@xixi Само [tex]x_1=\frac{k.\pi }{5}[/tex] е вярно, а отговорите са 3.

До тук [tex]cos6x-cos4x=0[/tex] и сам стигнах, но би ли обяснил коя ф-ла използваш за по-нататъшното преобразуване.

[tex]sin\alpha .sin\beta =\frac{1}{2}[cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )][/tex] Аз тази мисля, че използваш, но при мен не се получава(не знам как да я приложа). И накрая как намираш x_1, x_2 .. Би ли обяснил

[Гост]

Пирамидата ABCD има за основа правоъгълен триъгълник [tex]\triangle ABC[/tex], в който [tex]\angle ACB = 90^\circ[/tex]. Околните ръбове на пирамидата са равни помежду си. Околната стена през ръба AB има ъгъл при върха [tex]D[/tex] равен на [tex]2\alpha[/tex] и лице [tex]9cm^2[/tex]. Да се намери височината на пирамидата.

Желаещ да даде едно решение, ако обича :}

[amsara]

Пирамидата ABCD има за основа правоъгълен триъгълник [tex]\triangle ABC[/tex], в който [tex]\angle ACB = 90^\circ[/tex]. Околните ръбове на пирамидата са равни помежду си. Околната стена през ръба AB има ъгъл при върха [tex]D[/tex] равен на [tex]2\alpha[/tex] и лице [tex]9cm^2[/tex]. Да се намери височината на пирамидата.

Желаещ да даде едно решение, ако обича :}

Начертах си тази пирамида ABCD с основа правоъгълен триъгълник. По условие AD=BD=CD=x. Не знаех къде точно е петата на височината на такава пирамида. Но Гугъл ми помогна. Написах в търсачката "пирамида с равни околни ръбове" и ми излезе това:
http://matematika.martinmarinov.info/index.php?no=56
Ако приложим това свойство 1 според мен излиза, че петата на височината е пресечната точка на симетралите на страните на основата.Но тази основа е правоъгълен триъгълник, значи пресечната точка на симетралите е средата на хипотенузата АВ. Означаваме DM=H.Toва DM обаче е височина, медиана и ъглополовяща в равнобедрения ABD.В него лесно ще намерим H.

[tex]\angle ADM = \angle BDM =\frac{2\alpha }{ 2} =\alpha[/tex]
[tex]sin\alpha = \frac{AM}{x }=> AM=BM=x.sin\alpha =>AB=2x.sin\alpha[/tex]
[tex]cos\alpha =\frac{DM}{x } => DM=x.cos\alpha => S=2x.sin\alpha .x.cos\alpha.\frac{1}{2 }= x^2.sin\alpha.cos\alpha[/tex]
[tex]x^2.sin\alpha.cos\alpha =9 => x =\frac{3}{ \sqrt{sin\alpha.cos\alpha } }=\frac{3.\sqrt{sin\alpha.cos\alpha } }{sin\alpha.cos\alpha }[/tex]
Имаш х, заместваш в DM=h.

Но въобще не твърдя, че в написаното има нещо правилно. Нека друг да каже, на мен просто ми беше интересно да разбера дали наистина М е петата на височината.

[ganka simeonova]

Сара, момиче

[amsara]

Така ли е и е сгрешено?

Като го писах се сетих за едно ваше изказване по друг повод, че трябва да рискувам и че светът е на смелите. Затова се осмелих да напиша решение на задача от материал, който не знам, дори с риска всичко да ми е грешно.

[ganka simeonova]

Напротив, харесваш ми:) И това, че се ровиш из форума. Решението е абсолютно вярно и върхът се проектира там, където си написала. Но има по-лек начин:
[tex]h=DM; AM=x=>xh=9; x=htg\alpha =>h^2tg\alpha =9=>h=\frac{3}{ \sqrt{tg\alpha } } =3\sqrt{cotg\alpha }[/tex];)

[amsara]

Напротив, харесваш ми:) И това, че се ровиш из форума. Решението е абсолютно вярно и върхът се проектира там, където си написала. Но има по-лек начин:
[tex]h=DM; AM=x=>xh=9; x=htg\alpha =>h^2tg\alpha =9=>h=\frac{3}{ \sqrt{tg\alpha } } =3\sqrt{cotg\alpha }[/tex];)

Супер, мерси много

[Гост]

Благодаря и на двете ви за решенията!