2 задачки за упражнение

[Mr.G{}{}Fy]

1. Да се намери най-малката стойност на сбора [tex]a^2 + b^2[/tex] ,където [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са реални числа,за които уравнението [tex]x^2 + (a+2)x +1+b+2=0[/tex] има поне един реален корен.
2.Дадени са квадратните уравнения
[tex]f(x)=x^2 - 2kx +4[/tex] и [tex]g(x) =y^2 -2(k-1)y+4=0[/tex] ,където [tex]k[/tex] е реално число.
Ако [tex]x_1 , x_2[/tex] са корените на първото уравнение,а [tex]y_1 , y_2[/tex] са корени на второто уравнение,за кои стойности на k са изпълнени неравенствата [tex]x_1 < y_1 < y_2 < x_2[/tex]

[Гост]

Уравнението в 1-та задача [tex]x^2+(a+2)x+b+4=0[/tex] ли е?

[Гост]

+3 исках да кажа.

[Mr.G{}{}Fy]

Коректното условие е : 1. Да се намери най-малката стойност на сбора [tex]a^2 + b^2[/tex] ,където [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са реални числа,за които уравнението [tex]x^2 + (a+2)x +а+b+2=0[/tex] има поне един реален корен.
Извинявам се,за допуснатата грешка.

[ganka simeonova]

Коректното условие е : 1. Да се намери най-малката стойност на сбора [tex]a^2 + b^2[/tex] ,където [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са реални числа,за които уравнението [tex]x^2 + (a+2)x + a+b+2=0[/tex] има поне един реален корен.
Извинявам се,за допуснатата грешка.

[Anubis]

Отговорът [tex]1[/tex] ли е Ако е така, мога да ти напиша решението.

[Anubis]

[tex]x^2+(a+2)x+a+b+2=0[/tex]

[tex]D=(a+2)^2-4(a+b+2)=a^2-4b-4[/tex] и искаме [tex]a^2-4b-4 \ge 0[/tex], за да има поне един корен.

За мое улеснение [tex]a=x_{1}, \, b=x_{2}[/tex], защото иначе се обърквам с буквите. Стигаме до

задачата на математическото оптимиране

[tex]\begin{array}{||} \operatorname{min} z(x)=x_{1}^2+x_{2}^2 \\ x_{1}^2-4x_{2}-4 \ge 0 \end{array} \quad \sim \quad \begin{array}{||} \operatorname{min} z(x)=x_{1}^2+x_{2}^2 \\ -x_{1}^2+4x_{2}+4 \le 0 \end{array}, \quad g(x) = -x_{1}^2+4x_{2}+4 \le 0[/tex].

Функциите [tex]z(x), \quad g(x)[/tex] са изпъкнали. В точката [tex](0; \, -5)[/tex] неравенството [tex]g(x) \le 0[/tex] се изпълнява

като строго неравенство. Това ни позволява да приложим теоремата на Кун — Такър.

Функцията на Лагранж е [tex]L(x_{1}; \, x_{2}; \, \lambda) = z(x)+\lambda g(x) = x_{1}^2+x_{2}^2+\lambda (-x_{1}^2+4x_{2}+4), \quad \lambda \ge 0[/tex].

Системата на Кун — Такър е:

[tex]\begin{array}{||} \frac{\partial L}{\partial x_{1}}=0 , \quad \frac{\partial L}{\partial x_{2}}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} \le 0, \quad \lambda \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{array} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \begin{array}{||} 2x_{1}-2\lambda x_{1}=0 \\ 2x_{2}+4\lambda=0 \\ -x_{1}^2+4x_{2}+4 \le 0 \\ \lambda (-x_{1}^2+4x_{2}+4) = 0 \end{array} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \begin{array}{||} x_{1}=\lambda x_{1} \\ x_{2} = -2\lambda \\ -x_{1}^2+4x_{2}+4 \le 0 \\ \lambda (x_{1}^2-4x_{2}-4) = 0 \end{array}[/tex]

1 случай (последното уравнение). [tex]\fbox{\lambda = 0} \Rightarrow x_{1}=x_{2}=0[/tex], което е невъзможно. Така [tex]\lambda \neq 0[/tex].

2 случай. [tex]\fbox{x_{1}^2-4x_{2}-4=0}[/tex], тогава решаваме системата

[tex]\begin{array}{||} x_{1} = \lambda x_{1} \\ x_{2}=-2\lambda \\ x_{1}^2-4x_{2}-4 = 0 \end{array} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \frac{x_{1}}{x_{2}} = -\frac{x_{1}}{2} \Rightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{1}}{2}=0 \Rightarrow x_{1}(2+x_{2})=0[/tex]

а) [tex]x_{1}=0 \Rightarrow 4x_{2}=-4 \Rightarrow x_{2}=-1; \quad \fbox{(x_{1}; \, x_{2}) = (0; \, -1)}[/tex]

б) [tex]x_{2}=-2 \Rightarrow x_{1}^2+4=0[/tex], което няма действителни корени.

Така [tex]x^{*} = (x_{1}; \, x_{2}) = (0; \, -1)[/tex] и [tex]\lambda = 1 \ge 0, \, z^{*} = z_{\operatorname{min}} = 1[/tex].

[Гост]

Сетих се и за една геометрична интерпретация.

Почваме да се движим по параболата, като последователно обхождаме точките

[tex](x_{1}; \, y_{1}), \quad (x_{2}; \, y_{2}), \quad (x_{3}; \, y_{3}), \quad \dots, \quad \(x_{k}; \, y_{k})[/tex].

Колкото по-надолу към върха на параболата слизаме, толкова повече стойностите

на сбора [tex]x_{k}^2+y_{k}^2[/tex] намаляват. Това продължава, докато стигнем върха на параболата

[tex](0; \, -1)[/tex]. Там [tex]x_{k}^2+y_{k}^2=1[/tex].

Сега почваме да се движим по другия клон, но виждаме, че там стойностите отново

почват да растат. Това е така, защото [tex]x_{k}^2+y_{k}^2[/tex] е четна функция. Ето защо

[tex]\operatorname{min} \{ x_{1}^2+x_{2}^2 \} = 1[/tex].

[ganka simeonova]

Ето и моето решение. Да започнем задачата, когато у-то има само един корен. Тогава лявата страна ще е точен квадрат от вида: [tex]x^2+2px+p^2=>a+2=2p; a+b+2=p^2=>a=2p-2; b=p^2-2p[/tex]

Тогава: [tex]a^2+b^2=f(p)=p^4-4p^3+8p^2+4=>f'(p)=4p^3-12p^2+16p-8[/tex]
Първата производна има само една нула за [tex]p=1[/tex] и в тази точка ф-та достига своя минимум=>
[tex]f(p)\ge f(1)=1[/tex]

[someone]

По задача 2:
[tex]f(x)[/tex] има реални нули [tex]x_{1,2}=k\mp sqrt{k^2-4}[/tex] при [tex]k^2-4\ge 0 \Leftrightarrow k\in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)[/tex].
[tex]g(x)[/tex] има реални нули [tex]y_{1, 2}=k-1\mp sqrt{k^2-2k-3}[/tex] при [tex]k^2-2k-3\ge 0 \Leftrightarrow k\in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)[/tex].
За да е изпълнено [tex]x_1 < y_1 < y_2 < x_2[/tex], трябва да са изпълнени едновременно следните условия:
[tex]\begin{array}{|}
k^2-4 > 0 (1)\\ \\
k^2-2k-3 > 0 (2) \\ \\
x_1 < y_1 \Leftrightarrow k-sqrt{k^2-4} < k-1-sqrt{k^2-2k-3} \Leftrightarrow sqrt{k^2-4} > 1+sqrt{k^2-2k-3} \Leftrightarrow k^2-4>1+k^2-2k-3+2sqrt{k^2-2k-3} \Leftrightarrow k-1>sqrt{k^2-2k-3} (3) \\ \\y_2 < x_2 \Leftrightarrow k-1+sqrt{k^2-2k-3} < k+sqrt{k^2-4} \Leftrightarrow sqrt{k^2-2k-3} < 1 + sqrt{k^2-4} \Leftrightarrow k^2-2k-3<1+k^2-4+2sqrt{k^2-4} \Leftrightarrow -k<sqrt{k^2-4} (4)
\\ \\
\end{array}[/tex]
Сечението на (1) и (2) е [tex]k \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)[/tex].
(3) няма решения в интервала [tex]k\in(-\infty; -2)[/tex], тъй като тогава лявата страна е отрицателна, а дясната - неотрицателна.
Освен това е ясно, че всяко [tex]k\in(3; +\infty)[/tex] е решение на (4), тъй като тогава лявата страна е отрицателна, а дясната - неотрицателна.
Следователно остава да решим системата
[tex]\begin{array}{||}
k\in(3; +\infty) \\ \\
k-1>sqrt{k^2-2k-3} \end{array}[/tex].
При тези условия повдигането на квадрат на ирационалното неравенство води до еквивалентно на него, т.е.
[tex]\begin{array}{||}
k\in(3;+\infty) \\\\
k^2-2k+1>k^2-2k-3 \Leftrightarrow 0k>-4 \Leftrightarrow k \in (-\infty; +\infty)\\ \\
\end{array}[/tex][tex]\Leftrightarrow k\in(3; +\infty)[/tex].
Окончателно търсените стойности са [tex]\fbox{k\in(3; +\infty)}[/tex].

[mkmarinov]

Извинявам се за късното включване; предлагам решение на задача 1, което не използва тъмната страна на математиката:
[tex]x^2+(a+2)x+a+b+2=0[/tex]
[tex](x+1)^2+a(x+1)+b+1=0[/tex] => търсим минималната стойност на сбора от квадратите, за която уравнението
[tex]x^2+ax+b+1=0[/tex] има поне един реален корен. Нека означим неговите корени с [tex]x_1, x_2[/tex]. От Виет имаме
[tex]a^2+b^2=(x_1+x_2)^2+(x_1x_2)^2-2x_1x_2+1[/tex]
[tex]a^2+b^2-1=x_1^2+x_2^2+(x_1x_2)^2 \ge 0[/tex]
Равенство се получава за стойностите [tex]a=0, b=-1[/tex] и уравнението има корени тогава, следователно търсената стойност наистина е 1.