Параметрично неравенство

[Mr.G{}{}Fy]

Намерете всички стойности на параметъра a,за които неравенството [tex]\sqrt{2a^2+1-(a+2)x} \le x-1[/tex] има решение.

[Xixibg]

[tex]a\in (-\infty ;-\frac{1}{2}]\cup [1;\infty)[/tex]

[Гост]

[tex]\sqrt{2a^2+1-(a+2)x} \le x-1 \Rightarrow 2a^2+1-(a+2)x \ge 0[/tex].
а) При [tex]x-1 < 0 \Rightarrow x < 1[/tex] няма решения.
б) За да има решения, трябва [tex]x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1[/tex].
[tex]\Rightarrow 2a^2+1-(a+2)x \ge 2a^2+1-(a+2) \ge 0 \Rightarrow 2a^2-a-1 \ge 0 \Rightarrow a \in (-\infty;-1] \cup [2;+\infty)[/tex]

[Xixibg]

[tex]\sqrt{2a^2+1-(a+2)x} \le x-1 \Rightarrow 2a^2+1-(a+2)x \ge 0[/tex].
а) При [tex]x-1 < 0 \Rightarrow x < 1[/tex] няма решения.
б) За да има решения, трябва [tex]x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1[/tex].
[tex]\Rightarrow 2a^2+1-(a+2)x \ge 2a^2+1-(a+2) \ge 0 \Rightarrow 2a^2-a-1 \ge 0 \Rightarrow a \in (-\infty;-1] \cup [2;+\infty)[/tex]

Оплескал си квадратното неравенство на последния ред....

[Mr.G{}{}Fy]

Иначе решението му вярно ли е ? И би ли постнал твоето решение ,xixibg.

[Xixibg]

Решението е стандартно :[tex]\sqrt{f(x)}\le g(x)[/tex]
Намираме дефиниционно множество:[tex]g(x)\ge 0 ; f(x)\ge 0[/tex]
и решаваме [tex]f(x)\le g^2(x)[/tex]
Конкретно в задачата:
[tex]DM: x-1\ge 0 ;=>x\ge 1 ; 2a^2+1-(a+2)x\ge 0 ; =>(a+2)x\le 2a^2+1[/tex]
[tex]1.a=-2 ; =>0.x\le 9[/tex] е вярно за всяко [tex]x\ge 1[/tex]
[tex]2.a <-2 ; =>x\ge \frac{2a^2+1}{a+2}[/tex] е вярно за всяко [tex]x\ge 1[/tex]([tex]\frac{2a^2+1}{a+2}<0[/tex] за всяко а<-2)
[tex]3.a>-2 ; =>x\le \frac{2a^2+1}{a+2} ; =>\frac{2a^2+1}{a+2}\ge x \ge 1;=>2a^2-a-1\ge 0 ; =>a\in (-2;-\frac{1}{2}]\cup [1;\infty)[/tex]
Окончателно [tex]1\cup 2\cup 3 ; => a \in (-\infty ;-\frac{1}{2}]\cup [1;\infty)[/tex]

[Гост]

Офф, да, така е, не съм разделил на 2.

[tex]2a^2-a-1 \ge 0 \Rightarrow a_{1,2}=\frac{1 \pm 3}{4} = \{ 1; \, -\frac{1}{2}\}[/tex]

До автора - по моя начин (доста прост) се получава и отговорът на Хихибг, но неговото е по-сложно.

[inveidar]

Решението е стандартно :[tex]\sqrt{f(x)}\le g(x)[/tex]
Намираме дефиниционно множество:[tex]g(x)\ge 0 ; f(x)\ge 0[/tex]

Първото неравенство не е дефиниционно множество, а част от равносилната на неравенството система. Дефиниционно множество са всички стойности на неизвестното, за които могат да се извършат означените действия. Айде да се научите най-после.

[Xixibg]

Първото неравенство не е дефиниционно множество, а част от равносилната на неравенството система. Дефиниционно множество са всички стойности на неизвестното, за които могат да се извършат означените действия. Айде да се научите най-после.

Не искам да навлизам в излишни спорове ,но не си прав.След като ще си играем на определения ето малко уточнение.
"Дефиниционно множество на функция" се нарича множеството от всички стойности на аргумента (неизвестното) ,за които функцията е дефинирана.
"Дефиниционно множество на израз" се нарича множеството от всички стойности на аргумента (неизвестното) ,за които изразът е дефиниран.

Изразът :[tex]\sqrt{f(x)}\le g(x)[/tex] е дефиниран при :[tex]g(x)\ge 0 ; f(x)\ge 0[/tex] ,което ще рече ,че дефиниционното му множество е :[tex]\begin{tabular}{|l} g(x)\ge 0\\f(x)\ge 0 \end{tabular}[/tex]

В математиката съществува понятие сложна функция :[tex]F(g(x))[/tex] , аргумента на която е функция с някакви допустими стойности.Множеството от тези стойности също наричане "Дефиниционно множество".

[drago]

... Изразът :[tex]\sqrt{f(x)}\le g(x)[/tex] е дефиниран при :[tex]g(x)\ge 0 ; f(x)\ge 0[/tex] ,което ще рече ,че дефиниционното му множество е :[tex]\begin{tabular}{|l} g(x)\ge 0\\f(x)\ge 0 \end{tabular}[/tex]

В математиката съществува понятие сложна функция :[tex]F(g(x))[/tex] , аргумента на която е функция с някакви допустими стойности.Множеството от тези стойности също наричане "Дефиниционно множество.

!!??... Изразът [tex]\sqrt{f(x)}\le g(x)[/tex] е дефиниран и при [tex]g(x) < 0[/tex] стига да е изпълнено [tex]f(x)\ge 0[/tex]. Просто тогава неравенството не е вярно, което е съвсем различна работа от дефинираност, нали?
И сложната функция тук няма никакво отношение.
И не мога да разбра що за инат да се отстоява нещо с цената да се пишат глупости.

[Гост]

Офф, да, така е, не съм разделил на 2.

[tex]2a^2-a-1 \ge 0 \Rightarrow a_{1,2}=\frac{1 \pm 3}{4} = \{ 1; \, -\frac{1}{2}\}[/tex]

До автора - по моя начин (доста прост) се получава и отговорът на Хихибг, но неговото е по-сложно.

Това неравенство май не е вярно за a<-2,тогава знакът май трябва да е на обратно? Плюс това трябва да докажеш,че в този интервал има решения,ти си показал само,че изразът под корена е дефиниран за някакво си а (естествено,ако по този начин неравенството е вярно).

[ganka simeonova]

Хихи, тук не си прав!
[tex]\sqrt{f(x} )\le g(x)[/tex]
Aко разгледаме в задачата само дясната функция, тя си е дефинирана за всяко х.
Лявата е дефинирана за онези х, за които: [tex]f(x)\ge x[/tex]
И накрая, за да има смисъл неравенството, трябва:
[tex]g(x)\ge 0[/tex]-това вече е смислова област, не дефиниционна!!!
Иначе, да: от двете условия изграждаме система.
Относно поста на Е. Стоянов- не, че той не е учител...

[strangerforever]

Хихи, тук не си прав!
[tex]\sqrt{f(x} )\le g(x)[/tex]
Aко разгледаме в задачата само дясната функция, тя си е дефинирана за всяко х.
Лявата е дефинирана за онези х, за които: [tex]f(x)\ge x[/tex]
И накрая, за да има смисъл неравенството, трябва:
[tex]g(x)\ge 0[/tex]-това вече е смислова област, не дефиниционна!!!
Иначе, да: от двете условия изграждаме система.
Относно поста на Е. Стоянов- не, че той не е учител...

Тук аз не съм съгласен. Това, че неравенството няма решение, не означава, че то няма смисъл. Един израз няма смисъл тогава, когато не е дефиниран. Разлика между двете няма.

Примерно, според вас [tex]\sqrt{x} \le -1[/tex] няма смисъл, но това не е вярно. Има смисъл, дефинирани са всички изрази в него, просто няма решение.

[tex]g(x) \ge 0[/tex] е множеството на възможните решения.

[ganka simeonova]

Израз не е развнозначен на неравенство.Поне според мен. За мен дясната страна определя смислово множество.

[inveidar]

Стрейнджъра е прав! Това, че неравенството не е вярно не означава, че няма смисъл. Нещата са ясни и прости. Не мога да разбера защо продължавате. И браво, успокоих се че Хихито не е учител. Не всичко е загубено все още!!!

[ganka simeonova]

Въпрос на гледна точка! Все едно да се каже, че 3=6 има смисъл. Не, няма!

[Гост]

А какво стана с това решение,което не е на xixibg вярно ли е ? Според мен това неравенство не е много вярно,което е написано (от Гост) .

[Xixibg]

Пак напълнихме темата със спам.
Нека тогава да го четем така:

Решението е стандартно :[tex]\sqrt{f(x)}\le g(x)[/tex]
Намираме множеството от стойности, за които задачата има смисъл, а именно:[tex]g(x)\ge 0 ; f(x)\ge 0[/tex]
и решаваме [tex]f(x)\le g^2(x)[/tex]

По този начин г-н Стоянов ще спестим целият този спор.Целта ми беше да покажа ,че е необходима проверка , а не да споря за определението "Дефиниционно множество".
А и по въпроса -да аз не съм учител , не мисля и да ставам такъв.Без да се обиждате ще Ви кажа ,че Ви липсва градивно мислене.Професионалното изкривяване на математика Ви пречи за това.Вглеждате се в детайлите и Ви убягва цялостната картина.Констатирате и задълбавате в незначителните проблеми и не отделяте достатъчно внимание на сериозните проблеми.Точно това пречи на днешните учители и точно за това понякога остават неразбрани от учениците.

[inveidar]

Мога ли да попитам защо ми беше изтрито мнението?! Ако трябва да го напиша пак???
Интересно кой е модератор на този раздел?

[inveidar]

А и по въпроса -да аз не съм учител , не мисля и да ставам такъв.Без да се обиждате ще Ви кажа ,че Ви липсва градивно мислене.Професионалното изкривяване на математика Ви пречи за това.Вглеждате се в детайлите и Ви убягва цялостната картина.Констатирате и задълбавате в незначителните проблеми и не отделяте достатъчно внимание на сериозните проблеми.Точно това пречи на днешните учители и точно за това понякога остават неразбрани от учениците.

Детайлите, драги ми Хихи, са много важни! И не ми убягва изобщо цялостната картина. Казах в изтрития пост, че решението ти е вярно! И кой си ти, по дяволите, да даваш преценка за днешните учители??? Оценките на учителите ги дават учениците. Тяхните ученици, а не сульо и пульо от някъде си!!!

[Xixibg]

Детайлите, драги ми Хихи, са много важни! И не ми убягва изобщо цялостната картина. Казах в изтрития пост, че решението ти е вярно! И кой си ти, по дяволите, да даваш преценка за днешните учители??? Оценките на учителите ги дават учениците. Тяхните ученици, а не сульо и пульо от някъде си!!!

Не давам аз преценка за учителите.Дават я учениците.Като се разровиш във форума ще видиш постове от сорта "Нищо не разбрах от този корен квадратен..." или пък "Това степенуването ми е тъмна Индия......".Това е споменатата от мен преценка.А по повод упрека ,за детайлите и картината.......
Нямаше да коментирам ако в поста си първо беше споменал нещо за това решение:

[tex]\sqrt{2a^2+1-(a+2)x} \le x-1 \Rightarrow 2a^2+1-(a+2)x \ge 0[/tex].
а) При [tex]x-1 < 0 \Rightarrow x < 1[/tex] няма решения.
б) За да има решения, трябва [tex]x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1[/tex].
[tex]\Rightarrow 2a^2+1-(a+2)x \ge 2a^2+1-(a+2) \ge 0 \Rightarrow 2a^2-a-1 \ge 0 \Rightarrow a \in (-\infty;-1] \cup [2;+\infty)[/tex]

А след това да коментираш изказа в моето.
Това са детайлите и картината в моя упрек.А Картината уважаеми господин учителю също е важна и като гледам не изглежда много розова.
Аз лично прекратявам спама по темата.Извинявам се ,на всички които съм объркал с лош изказ.И повече не ме карайте да поствам решения.Има си учители за това.......

[inveidar]

Нямаше да коментирам ако в поста си първо беше споменал нещо за това решение:

[tex]\sqrt{2a^2+1-(a+2)x} \le x-1 \Rightarrow 2a^2+1-(a+2)x \ge 0[/tex].
а) При [tex]x-1 < 0 \Rightarrow x < 1[/tex] няма решения.
б) За да има решения, трябва [tex]x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1[/tex].
[tex]\Rightarrow 2a^2+1-(a+2)x \ge 2a^2+1-(a+2) \ge 0 \Rightarrow 2a^2-a-1 \ge 0 \Rightarrow a \in (-\infty;-1] \cup [2;+\infty)[/tex]

Е какво да спомена за това очевидно грешно решение? То няма нищо общо с истината. Просто установява, че изразът под корена е по-голям или равен от друг израз, който обаче ИЗОБЩО не е длъжен да е неотрицателен, за да е неотрицателен и изразът под корена, нали? Това, че 5>-1 не означава, че -1>0, нали? Но ти си написал, че не е вярно и аз сметнах, че ти трябва да обясниш защо. Хайде, не се обиждай толкова. Решаваш отлично задачите, просто има малки неща, които трябва да ошлайфаш. Мисля, че ти помагам, като ти посочвам неточностите. Може би съм го направил по малко по-остър начин. Ок, извинявай и да спираме със спама.