Задача с 2 неравенства

[Mr.G{}{}Fy]

Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които всяко решение на неравенството [tex]x^2 -(2+a^2)x + 1+a^2\le0[/tex] e решение на неравенството [tex]3ax -4a-1\le \sqrt{x-1}[/tex]

[martin123456]

[tex]x^2-(2+a^2)+1+a^2=(x-1)(x-1-a^2)\Rightarrow x^2-(2+a^2)+1+a^2\le 0\Leftrightarrow x \in [1,1+a^2][/tex]
От ДМ за второто неравенство имаме [tex]x\ge1[/tex].
1) [tex]3ax-4a-1\ge 0[/tex].
Числото 1 трябва да е решение тук [tex]\Rightarrow 3a-4a-1\le 0\Leftrightarrow a\ge -1[/tex]. От случая, който разглеждаме [tex]3a-4a-1\ge 0\Leftrightarrow a\le -1\Rightarrow a =-1[/tex]. Второто неравенство става [tex]-3x+3\le \sqrt{x-1}[/tex]. Лявата страна е неположителна, а дясната неотрицателна. Значи [tex]x=1[/tex] е единственото решение на второто неравнество. Обаче първото има решения [tex]x\in [1, 2][/tex], значи този случай не ни устройва.
2) [tex]3ax-4a-1<0[/tex]. Тогава вротото неравенство е [tex]\Leftrightarrow (1)x\ge 1\hspace{2mm}(2)3ax-4a-1<0\Leftrightarrow x\ge -1,\hspace{2mm}3ax<4a+1[/tex].
Ако [tex]a<0:\hspace{2mm}3ax<4a+1\Leftrightarrow x>\frac{4a+1}{3a}[/tex]. Виждаме, че [tex]\frac{4a+1}{3a}\le 1\Leftrightarrow \frac{a+1}{3a}<0\Leftrightarrow a>-1[/tex].
Сега ако [tex]a\in (-1,0) \Rightarrow[/tex] второто неравенство е еквивалентно на [tex]x\ge 1[/tex], т.е. намереният интервал е решение.
Ако пък [tex]a\le -1[/tex] имаме, че второто неравенство е еквивалентно на [tex]x>\frac{4a+1}{3a}[/tex] и така числото 1 не е решение на второто неравенсто и значи не ни устройва.
Сега, ако [tex]a\ge 0[/tex]: [tex]x<\frac{4a+1}{3a}[/tex]. Ако [tex]\frac{4a+1}{3a}\le 1[/tex] нямаме решения. Нека сега [tex]\frac{4a+1}{3a}>1\Leftrightarrow a>-1[/tex]. Дотук сме изисквали само [tex]a\ge 0[/tex]. Решенията на второто неравенство са [tex][1,\frac{4a+1}{3a})[/tex]. Искаме последно [tex]1+a^2<\frac{4a+1}{3a}\Leftrightarrow 3a^3+3a<4a+1\Leftrightarrow 3a^3-a-1<0\Leftrightarrow 27a^3-9a-9<0\Leftrightarrow b^3-3b-9<0, b=3a[/tex]. И сега може би по формулата на Кардано.