Докажете, че сборът на векторите ОА+ОВ+ОС+ОД = 4 ОР

[mathgirl94]

Можете ли да ми помогнете с решението на 2 геометрични задачи:
1зад.) даден е развнобедрен трапец ABCD, описан около окръжност с център т.О. АВ=а, СД=в.
а) докажете, че ако h е височина, то тя е равна на √а.√в
б) k пресича AD=т. M
k пресича BC=т. P
Намерете S на МОР, при а=8, в=2.


2 зад.)ABCD - трапец, т. Р - среда на средната отсечка МN. Точка О е произволна. Докажете, че сборът на векторите ОА+ОВ+ОС+ОД = 4 ОР

Благодаря предварително!

[ammornil]

1зад.) даден е развнобедрен трапец ABCD, описан около окръжност с център т.О. АВ=а, СД=в.
а) докажете, че ако h е височина, то тя е равна на √а.√в
б) k пресича AD=т. M
k пресича BC=т. P
Намерете S на МОР, при а=8, в=2.
..::..
а)Построяваме височините [tex]CC_{1}, DD_{1}[/tex].
[tex]D_{_{1}}C_{_{1}}=b[/tex]

[tex]\triangle AD_{_{1}}D \cyr{ednakyv na} \triangle AC_{_{1}}DC \left{AD=BC -\cyr{po uslovie} \\ DD_{_{1}}=CC_{_{1}} -\cyr{po postroenie} \\ \angle AD_{_{1}}D= \angle BC_{_{1}}C \right, \hspace{12} \Rightarrow AD_{_{1}}=BC_{_{1}} \\
AB=AD_{_{1}}+D_{_{1}}C_{_{1}}+C_{_{1}}B \Leftrightarrow a=AD_{_{1}}+b+AD_{_{1}} \Rightarrow AD_{_{1}}=\frac{a-b}{2}[/tex]

От ABCD -вписан трапец [tex]\hspace{2} \Rightarrow \hspace{2} AB+CD=AD+BC=2.AD \hspace{2} \Rightarrow AD=\frac{AB++CD}{2}=\frac{a+b}{2}[/tex]

[tex]\triangle AD_{_{1}}D -\cyr{pravoygylen} \right AD^{2}=AD_{_{1}}^{2}+DD_{_{1}}^{2} \\
DD_{_{1}}^{2}=AD^{2}-AD_{_{1}}^{2} \\
h^{2}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2} \hspace{6} \Rightarrow \hspace{12} h^{2}=\frac{a^{2}+2.a.b+b^{2}}{4}-\frac{a^{2}+2.a.b+b^{2}}{4} \hspace{6} \Rightarrow \\h^{2}=\frac{a^{2}+2.a.b+b^{2}-a^{2}+2.a.b-b^{2}}{4} \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12}
h^{2}=a.b \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} h=\sqrt{a}.\sqrt{b}[/tex]

б) какво е К и как се идентифицира?

[mathgirl94]

К е окръжността, която се допира до трапеца в 2-те точки

[ammornil]

Да, изивинявай, просто в чертежа съм прикачил вписан вместо описан трапец и се заблудих сам.

[mathgirl94]

А това значи ли, че решението е друго? И ще можеш ли да ми помогнеш и с решението на б подточка и на 2 зад.?

[ammornil]

Решението на задача 1а) е вярно, дори и там съм написал "вписан трапец", но съм използвал свойство на описан трапец.
За съжаление в момента нямам време да ти напиша останалаите решения, ако искаш постави задачата отново като ново запитване, така че някой друг да я реши. Извинявай за неудобството.

[Гост1]

За втора задача докажи и използвай следния факт-
Ако PQ е отсечка със среда R, а F е произволна точка, то [tex]\vec{FQ}+\vec{FP}=2\vec{FR}[/tex]. Приложи го за точката O и веднъж за отсечката AD и средата й M и втори път за отсечката BC и средата й N. Приложи го за трети път отново с точката O и със отсечката MN и средата й P. Използвайки резултатите от първите две изразявания стигаш до исканото равенство. Ако има проблеми питай!

[mathgirl94]

Благодаря за 1-ва задача! А от 2-ра къде точно да бъде т.Q? Имам средна отсечка МN, може би за това става въпрос.

[mathgirl94]

Мисля, че се справих и с втората задача. Благодаря ви!