геометрична задача за трапец

[mathgirl94]

даден е развнобедрен трапец ABCD, описан около окръжност (k) с център т.О. АВ=а, СД=в.
k пресича AD=т. M
k пресича BC=т. P
Намерете S на МОР, при а=8, в=2.

[ammornil]

даден е развнобедрен трапец ABCD, описан около окръжност (k) с център т.О. АВ=а, СД=в.
k пресича AD=т. M
k пресича BC=т. P
Намерете S на МОР, при а=8, в=2.

От свойство на външна допирателна имаме: [tex]AQ=AM, \hspace{6} BQ=BP, \hspace{6} CP=CN, \hspace{6} DN=DM[/tex] и освен това радиусите на окръжността с пети точките на допиране до страните, са перпендикулярни на тези страни.

От ABCD- описан, следва че точка О лежи на пресечната точка на ъглополовящите на ъглите на трапеца. Следователно [tex]\angle OAQ= \angle OBQ[/tex] като половини на равни ъгли в равнобедрен трапец.
[tex]\triangle OAQ \cyr{ednakyv na} \triangle OBQ \left{\cyr{pravoygylni} \\ \angle OAQ= \angle OBQ \\ OQ- \hspace{4} \cyr{obshta} \right, \hspace{12} \Rightarrow AQ=BQ[/tex]

Аналогично се доказва, че DN=CN. Тогава: [tex]\left|AM=AQ=BQ=BP=4 \\ DM=DN=CN=CP=1 \right, \hspace{8} \Rightarrow AD=BC=5[/tex]

NQ=2.R -височина в равнобедрен трапец

Построяваме височините [tex]DD_1, CC_1 \rightarrow D_1C_1=b \Rightarrow AD_1=BC_1=\frac{a-b}{2}=3[/tex].
[tex]\triangle AD_1D, \hspace{2} \angle AD_1D=90^\circ \Rightarrow h^2=AD^2-AD_1^2=5^2-3^2=16 \\
h=4 \Rightarrow 2.R=4 \Rightarrow R=2 \Rightarrow OQ=OP=ON=OM=2[/tex]

Триъгълници MOD, DON, NOC и COP са еднакви (правоъгълни с равни съответни катети), следователно [tex]\angle MOD= \angle DON= \angle NOC= \angle COP[/tex]
[tex]sin \angle MOD=\frac{DM}{MO}=\frac{1}{2} \Rightarrow \angle MOD=30^\circ[/tex]
[tex]\angle MOP= \angle MOD+ \angle DON+ \angle NOC+ \angle COP=4.MOD=120^\circ[/tex]

[tex]S_{_{\triangle MOP}}= \frac{MO.OP.sin\angle MOP}{2}=\frac{2.2.\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\sqrt{3}[/tex]

[mathgirl94]

Благодаря за решението. Мисля, че разбрах как се решава, но никога нямаше да се сетя сама за решението.