1 с функция и 1 геометрична

[Mr.G{}{}Fy]

1. Нека [tex]f(x)=cos2x-4cosx +3 и g(x)=acos2x + bcosx +c[/tex]
а) Да се докаже,че [tex]f(x)\ge 0[/tex] за всяко [tex]x[/tex]
б)Да се намерят всички функции [tex]g(x)[/tex],за които неравенството [tex]f(x) \ge g(x)\ge 0[/tex] е изпълнено за всяко [tex]x[/tex]


2.В равнобедрения триъгълник ABC ъгълът при върха A е прав,M е среда на страната AC ,чиято дължина е 1.Да се намери точка X от страната AB,за която ъгълът CMX е най-голям.

[Гост]

2.В равнобедрения триъгълник ABC ъгълът при върха A е прав,M е среда на страната AC ,чиято дължина е 1.Да се намери точка X от страната AB,за която ъгълът CMX е най-голям.

[tex]\angle CMX \right 180^\circ \cyr{pri} X \right A[/tex]

С други думи максимумът е когато Х съвпада с А, тогава ъгълът е изправен и има най-голяма възможна стойност.

Мисля, че по-голяма част от даденото е само за да обърква.

[Xixibg]

1.a)[tex]f(x)=cos {2x}-4cos x+3=2cos^2 x-4cos x+2=2(cos x-1)^2 \ge 0[/tex] за всяко [tex]x[/tex]
б)[tex]f(x)=g(x) ; (a=1 ; b=4 ; c=3)[/tex]
[tex]g(x)=0 ;(a=0,b=0,c=0)[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Извинявам се,много.Бързах и съм оплескал работите.Правилните условия са :

1. Нека [tex]f(x)=cos2x-4cosx +3[/tex] и g(x)=acos2x + bcosx +c
а) Да се докаже,че [tex]f(x)\ge 0[/tex] за всяко [tex]x[/tex]
б)Да се намерят всички функции [tex]g(x)[/tex],за които неравенството [tex]f(x) \ge g(x)\ge 0[/tex] е изпълнено за всяко [tex]x[/tex]


2.В равнобедрения триъгълник ABC ъгълът при върха A е прав,M е среда на страната AC ,чиято дължина е 1.Да се намери точка X от страната AB,за която ъгълът CXM е най-голям.

[Mr.G{}{}Fy]

Xixibg , на втората подточка не мога да ти разбера идеята.Не може ли примерно [tex]f(x)=g(x)[/tex] и от там пък [tex]g(x)\ge0[/tex] за всяко x.Или може би аз не схващам идеята?А и едвам гледам вече

[ganka simeonova]

2зад) Следвай означенията от чертежа.
[tex]AX=x\in [0; 1); AM=\frac{1}{2 }; \Delta XAM =>XM^2=AX^2+AM^2=>XM=\frac{4x^2+1}{2 }[/tex]
[tex]\Delta XAC=>CX=\sqrt{x^2+1} ; sin\varphi =\frac{AX}{XC } =\frac{x}{\sqrt{x^2+1} }[/tex]. Прилагаме син.т-ма за
[tex]\Delta XMC=>sin\alpha =\sqrt{\frac{x^2}{4x^4+5x^2+1 } } ; x^2=t=>sin\alpha =f(t)=\sqrt{\frac{t}{ 4t^2+5t+1} }[/tex]
Да не забравяме, че алфа е остър ъгъл. Намираме производната на подкоренната функция.
[tex]\frac{-4t^2+1}{ (4t^2+5t+1)^2}[/tex]; [tex]-4t^2+1=0=>t_{max}=\frac{1}{ 2} =>x_{max}=\frac{\sqrt{2} }{ 2}[/tex]
За полученото [tex]t=>sin\alpha[/tex] в дадения интервал достига НГС и понеже [tex]\alpha <90=>sin\alpha[/tex]е растяща функция.Тогава за това [tex]t, \alpha[/tex] също ще достига НГС.

[ammornil]

2зад) Следвай означенията от чертежа.
[tex]AX=x\in [0; 1); AM=\frac{1}{2 }; \Delta XAM =>XM^2=AX^2+AM^2=>XM=\frac{4x^2+1}{2 }[/tex]
[tex]\Delta XAC=>CX=\sqrt{x^2+1} ; sin\varphi =\frac{AX}{XC } =\frac{x}{\sqrt{x^2+1} }[/tex]. Прилагаме син.т-ма за
[tex]\Delta XMC=>sin\alpha =\sqrt{\frac{x^2}{4x^4+5x^2+1 } } ; x^2=t=>sin\alpha =f(t)=\sqrt{\frac{t}{ 4t^2+5t+1} }[/tex]
Да не забравяме, че алфа е остър ъгъл. Намираме производната на подкоренната функция.
[tex]\frac{-4t^2+1}{ (4t^2+5t+1)^2}[/tex]; [tex]-4t^2+1=0=>t_{max}=\frac{1}{ 2} =>x_{max}=\frac{\sqrt{2} }{ 2}[/tex]
За полученото [tex]t=>sin\alpha[/tex] в дадения интервал достига НГС и понеже [tex]\alpha <90=>sin\alpha[/tex]е растяща функция.Тогава за това [tex]t, \alpha[/tex] също ще достига НГС.

2.В равнобедрения триъгълник ABC ъгълът при върха A е прав,M е среда на страната AC ,чиято дължина е 1.Да се намери точка X от страната AB,за която ъгълът CMX е най-голям.

Аз ли не чета вярно и правият ъгъл е другаде или предложеното решение е на друга задача?

ПС/ точка Х я няма на чертежа Ви.

[ganka simeonova]

ammornil. благодаря:) Объркала съм буквите на чертежа. А и С да се разменят. Иначе решението ми е с точните означения. И [tex]H\equiv X[/tex]
Сори, но днес я правих в бързината преди да отлетя за училище