Задача от СУ

[Гост]

В окръжност е вписан четириъгълник ABCD със страни AB = 7 , CD = 1 и
взаимно перпендикулярни диагонали AC и BD . Да се намерят дължините на страните
AD и BC , така че лицето на четириъгълника да е възможно най-голямо.

[Xixibg]

[tex]AC\cap BD=O ; \triangle ABO \approx \triangle CDO[/tex]
[tex]CO=x ; =>AO=7x ; =>DO=\sqrt{1-x^2} ; BO=7\sqrt{1-x^2}[/tex]
[tex]AC=8x ; BD=8\sqrt{1-x^2} ; =>S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD=32x\sqrt{1-x^2}[/tex]
Намираме 1-ва производна на получения за [tex]S_{ABCD}[/tex]израз:
[tex]=>S'=32\sqrt{1-x^2}+32x.\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(-2x)=32(\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}})=\frac{32}{\sqrt{1-x^2}}(1-2x^2)[/tex]
[tex]=>S'=0[/tex] , за [tex]x=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]AD=BC=\sqrt{48x^2+1}=\sqrt{25}=5[/tex]

[Гост]

Благодаря много за помощтта. Аз започнах по един много тъп начин мислейки си, че трябва да намеря конкретна функция за лицето, която зависи директно от AD и BC и изразявах всякакви работи чрез синусова, косинусова теореми, питагорови теореми, накрая съвсем се убърках.

[Xixibg]

Методът на решение е важен защото иначе затъваш в едни сметки и няма оправяне

[ganka simeonova]

Може и без производни. Нека [tex]AD=x; BC=y[/tex]. От теоремата на Птоломей следва, че
[tex]AC.BD=AD.BC+AB.CD=>AC.BD=xy+7[/tex].

За четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали е в сила:
[tex]AD^2+BC^2=AB^2+CD^2=>x^2+y^2=50[/tex]

От СА-СГ=>[tex]xy\le \frac{x^2+y^2}{2 } =25[/tex] (равенство за [tex]x=y=5)[/tex]

[tex]S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{2 }=\frac{xy+7}{ 2} \le \frac{25+7}{2 } =16=>S_{MAX}=16[/tex]и се достига за [tex]x=y=5[/tex]