Рекурентна редица :(

[Гост]

Група от n деца си разделили кутия с бонбони. Първото дете взело 1 бонбон
и още една десета от останалите в кутията бонбони. След него второто дете взело 2
бонбона и още една десета от останалите след това бонбони в кутията, и т.н.,
предпоследното дете взело n −1 бонбона и още една десета от останалите след това
бонбони в кутията. За последното дете в кутията останали n бонбона. Намерете броя n
на децата, ако е известно, че първите две деца са взели по равен брой бонбони.

Издазявам останалите бонбони след взимането от всяко дете, но получавам някаква рекурентна редица, чиято формула за н-тия член много трудно се намира директно чрез заместване на предните членове. В крайна сметка опитах да го направя 2 страници изписах и накрая получих нецяло число като отговор (някъде съм сбъркал някакви знаци сигурно не знам)..... Помогнете, защото сигурно има лесен начин, но не мога да се сетя.

[Гост]

Група от n деца си разделили кутия с бонбони. Първото дете взело 1 бонбон
и още една десета от останалите в кутията бонбони. След него второто дете взело 2
бонбона и още една десета от останалите след това бонбони в кутията, и т.н.,
предпоследното дете взело n −1 бонбона и още една десета от останалите след това
бонбони в кутията. За последното дете в кутията останали n бонбона. Намерете броя n
на децата, ако е известно, че първите две деца са взели по равен брой бонбони.

Издазявам останалите бонбони след взимането от всяко дете, но получавам някаква рекурентна редица, чиято формула за н-тия член много трудно се намира директно чрез заместване на предните членове. В крайна сметка опитах да го направя 2 страници изписах и накрая получих нецяло число като отговор (някъде съм сбъркал някакви знаци сигурно не знам)..... Помогнете, защото сигурно има лесен начин, но не мога да се сетя.

[tex][/tex]

Не знам какво е рекурентна редица, но мисля,че успях да реша задачата с линейно уравнение за 7 клас. Ако съм права, децата са 9 и всяко е взело по равен брой бонбони, по 9.
Означавам с х всичките бонбони.
Първото дете взима [tex]1 + \frac{1}{ 10} .(x-1)= 1+\frac{x}{ 10}-\frac{1}{10} =\frac{x}{ 10}+\frac{9}{ 10}[/tex]

Второто ще взима своите бонбони сред останалите вече [tex]x-\frac{x}{ 10} -\frac{9}{10 } =\frac{9x}{ 10} -\frac{9}{10 }[/tex]
Първо взима 2 бонбона и остават[tex]\frac{9x}{10 }-\frac{9}{10 }-2=\frac{9x}{ 10} -\frac{29}{10 }[/tex]
Второто е изяло общо [tex]2 + \frac{1}{10 }(\frac{9x}{ 10}-\frac{29}{10 })=2+\frac{9x}{100 } -\frac{29}{100 }[/tex]
=>[tex]\frac{x}{ 10}+\frac{9}{ 10} = 2 +\frac{9x}{ 100}-\frac{29}{100 }[/tex]
[tex]10x+90=200+9x-29 <=> x=81[/tex]бонбона

I дете: [tex]1 + \frac{1}{ 10}.80 = 9[/tex]бонбона
II дете: [tex]2 + \frac{1}{ 10}.(81-9-2)=2+\frac{1}{ 10}.70=9[/tex]бонбона
III дете: [tex]3+ \frac{1}{10 }.(81-2.9 -3)=3+\frac{1}{10 }.60=9[/tex]бонбона
----и така до деветото дете.

Съзнавам, че това не е решение на задача като за кандидат-студент, но може пък с нещо логиката на простичкото уравнение да помогне.Все пак не е налучкване и бабешки сметки.

[pipi langstrump]

Броя на бонбоните е 81, първото и второто дете взимат по 9. С директни сметки виждаме, че и третото дете взима 9.
Ако [tex]a_\nu[/tex] e броя на бонбоните, които взима [tex]\nu[/tex] - тото дете, тогава se изпълнява рекуренсията [tex]a_{\nu+1} = a_{\nu} +1 - \frac{1}{10}(a_{\nu-1} + 1)[/tex]
[tex]{\nu}[/tex] - тия член e
[tex]a_{\nu} = a_{\nu-1} +1 - \frac{1}{10}(a_{\nu-2} + 1)[/tex]
Вадим двете редици, полагаме [tex]a_{\nu+1} - a_{\nu} = b_{\nu}[/tex] и се получава
[tex]b_{\nu} = b_{\nu-1} - \frac{1}{10}b_{\nu-2}[/tex]
Началните условия са [tex]b_1 = a_2 - a_1 = 0[/tex], [tex]b_2 = a_3 - a_2 = 0[/tex] и оттука веднага се вижда, че [tex]b_\nu[/tex] = 0, т.е. [tex]a_\nu = \operatorname{const} = 9[/tex]
После намираме, че [tex]a_{n-1} = \frac{10}{9}n - 1[/tex], т.е. [tex]n = 9[/tex]

[Гост]

Броя на бонбоните е 81, първото и второто дете взимат по 9. С директни сметки виждаме, че и третото дете взима 9.
Ако [tex]a_\nu[/tex] e броя на бонбоните, които взима [tex]\nu[/tex] - тото дете, тогава se изпълнява рекуренсията [tex]a_{\nu+1} = a_{\nu} +1 - \frac{1}{10}(a_{\nu-1} + 1)[/tex]
[tex]{\nu}[/tex] - тия член e
[tex]a_{\nu} = a_{\nu-1} +1 - \frac{1}{10}(a_{\nu-2} + 1)[/tex]
Вадим двете редици, полагаме [tex]a_{\nu+1} - a_{\nu} = b_{\nu}[/tex] и се получава
[tex]b_{\nu} = b_{\nu-1} - \frac{1}{10}b_{\nu-2}[/tex]
Началните условия са [tex]b_1 = a_2 - a_1 = 0[/tex], [tex]b_2 = a_3 - a_2 = 0[/tex] и оттука веднага се вижда, че [tex]b_\nu[/tex] = 0, т.е. [tex]a_\nu = \operatorname{const} = 9[/tex]
После намираме, че [tex]a_{n-1} = \frac{10}{9}n - 1[/tex], т.е. [tex]n = 9[/tex]

Как разбра,че [tex]a_{\nu+1} = a_{\nu} +1 - \frac{1}{10}(a_{\nu-1} + 1)[/tex] е изпълнено? Когато се опитам да изразя броя на взетите бонбони моята редица включва една десета от броя на бонбоните минус всички други членове на редицата с взети бонбони. Това не мога да го разбера .

[pipi langstrump]

Пишеш [tex]\nu+1[/tex]-тия и [tex]\nu[/tex]- тия член и ги вадиш.
Така сумите се унищожават.