Тригонометрично уравнение

[metamorphosis]

Да се реши уравнението:
[tex]3cos^{3}x - sin^{2}x.cosx - sinx = 0[/tex]

[ganka simeonova]

Да се реши уравнението:
[tex]3cos^{3}x - sin^{2}x.cosx - sinx = 0[/tex]

Това уравнение хич не ми се нрави. Откъде е? Имаш ли отговори?

[metamorphosis]

Това уравнение хич не ми се нрави. Откъде е? Имаш ли отговори?

Уравнението е от примерна тема за СУ - II равнище и нямам отговори. Пробвах най-различни начини, но не мога да го реша засега.

[inveidar]

Да се реши уравнението:
[tex]3cos^{3}x - sin^{2}x.cosx - sinx = 0[/tex]

[tex]3cos^{3}x - sin^{2}x.cosx - sinx = 0\Leftrightarrow 3cos^{3}x - (1-cos^{2}x).cosx - sinx = 0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]3cos^{3}x +cos^{3}x-cosx-sinx=0 \Leftrightarrow 4cos^{3}x-cosx-sinx=0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]4cos^{3}x-cosx=\sqrt{1-cos^{2}x}[/tex](при [tex]sinx\ge 0[/tex]) или [tex]4cos^{3}x-cosx=-\sqrt{1-cos^{2}x}[/tex](при [tex]sinx< 0[/tex])
Нека първо [tex]4cos^{3}x-cosx=\sqrt{1-cos^{2}x}[/tex](при [tex]sinx\ge 0[/tex]). Умножаваме двете страни по две и получаваме [tex](2cosx)^{3}-(2cosx)=\sqrt{4-(2cosx)^{2}[/tex](при [tex]sinx\ge 0[/tex]), т.е
[tex]t^{3}-t=\sqrt{4-t^{2}}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} {t^6-2t^4+2t^2-4=0} \\ {t^3-t\ge 0} \end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l} {(t^2-2)(t^4+2)=0} \\ {t^3-t\ge 0} \end{array}\Leftrightarrow t=\sqrt{2}[/tex].
Като вземе предвид, че [tex]t=2cosx[/tex], получаваме [tex]cosx=\frac{\sqrt{2} }{ 2}[/tex] и от тук
[tex]x=\frac{\pi }{ 4}+2k\pi[/tex](отчитаме и факта, че [tex]sinx\ge 0[/tex]).

Вторият случай - по-късно.
Всъщност, като се замисля, я по-добре да си го решиш сам.

[ganka simeonova]

Успях да я излъжа:)))
Умножаваме последното събираемо по 1, т.е. по [tex]sin^2x+cos^2x[/tex], разкриваме скобите и получваме

[tex]3cos^3x-sin^2xcosx-sin^3x-sinxcos^2x[/tex]. Това уравнение вече е хомогенно и делим на [tex]sin^3x\ne 0[/tex]=>

[tex]3cotg^3x-cotg^2x-cotgx-1=0[/tex] и полгаме [tex]cotgx=t[/tex]=>

[tex]3t^3-t^2-t-1=(t-1)(3t^2+2t+1)=0=>t=1=>cotgx=1=>x=\frac{\pi }{ 4} +k\pi[/tex]

[tex]3t^2+2t+1=0[/tex] няма реални корени