Тригонометрични уравнения с параметър.

[kraikov]

Здравейте. Подготвям се за изпит в ТУ-София и след толкова много изрешени тестове все още не разбирам нищо от Тригонометрични уравнение. Ще съм благодарен, ако някой ми помогне със следните задачи:

За кои стойности на реалния параметър a уравнението 2sin x + 3cosx = a има решение?

7 април 2012 г. 30 зад.
За кои стойности на реалния параметър a уравнението 2sin x + 3cosx = a има решение?

11 април 2009 г. (неизтеглен) 29 зад.
За кои цели стойности на параметъра n уравнението

[tex]2sin^2x + 6cos^2\frac{x}{2} = 5-2n[/tex]


Ако съществува някаква схема за решаването на подобни уравнения, ще съм ви благодарен ако я споделите.

[Anubis]

Когато решаваме уравнение от вида [tex]a \sin x + b \cos x = m[/tex], разделяме двете страни на уравнението с числото

[tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex]. Така стигаме до равносилното уравнение [tex]\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x = \frac{m}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex].

Понеже [tex]\left ( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right )^2 + \left ( \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right )^2 = 1[/tex] и [tex]-1 \le \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \le 1, \quad -1 \le \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \le 1[/tex], кръщаваме

[tex]\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \cos \alpha, \quad \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sin \alpha \Rightarrow \sin x \cos \alpha + cos x \sin \alpha = \frac{m}{\sqrt{a^2+b^2}} \Rightarrow \sin(\alpha+x) = \frac{m}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex].

Това се решава стандартно. Нека да приложим гореописаната процедура към нашата задача.

[tex]2 \sin x + 3 \cos x = a \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{13}} \sin x + \frac{3}{\sqrt{13}} \cos x = \frac{a}{\sqrt{13}} = \sin (\alpha + x) = \frac{a}{\sqrt{13}}[/tex]

Тъй като [tex]-1 \le \sin(\alpha + x) \le 1[/tex], последното уравнение ще има решение, ако [tex]-1 \le \frac{a}{\sqrt{13}} \le 1 \Rightarrow -\sqrt{13} \le a \le \sqrt{13}[/tex].

[kraikov]

Много ти благодаря. Много добре си го обяснил
А имате ли някаква идея за втората задача, защото не мисля, че може да се получи по горепосочения начин.

[Anubis]

Там условието е неточно. Оправи го, моля.

[kraikov]

Извинявам се.

За кои цели стойности на параметъра n уравнението

[tex]2sin^2x + 6cos^2\frac{x}{2} = 5-2n[/tex] има решение.

[Anubis]

[tex]2 \sin^2 x + 6 \cos^2 \frac{x}{2} = 5-2n[/tex]

Понеже [tex]\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}[/tex], уравнението е равносилно на

[tex]2(1 - \cos^2 x) + 3(1 + \cos x) = 5 - 2n \Rightarrow 2 \cos^2 x - 3 \cos x -2n = 0[/tex].

Полагаме [tex]\cos x = u, \quad -1 \le u \le 1[/tex]. Задачата се свежда до това, уравнението

[tex]f(u) = 2u^2-3u-2n=0[/tex] да има корен в интервала [tex][-1; \, 1][/tex], условието за което е

[tex]f(1)f(-1)<0 \Rightarrow -(1+2n)(5-2n)<0 \Rightarrow (1+2n)(5-2n)>0 \Rightarrow n \in \left ( -\frac{1}{2}; \, \frac{5}{2} \right )[/tex].

Единствените цели стойности в този интервал са [tex]n = \{ 0; \, 1; \, 2 \}[/tex].

От картинката се вижда, че при [tex]n_{1}=3[/tex] или [tex]n_{2}=-1[/tex] съответната права [tex]y_{1}=6[/tex] или [tex]y_{2}=-2[/tex] не пресича

никъде червената линия, т. е. не е възможно да имаме решение за цяло [tex]n[/tex] извън намерените три стойности.

[kraikov]

Страшен си, много ти благодаря.
С риск да стана нахален, ще те помоля да ми дадеш насоки в решаването на следната задача:



[tex]\sqrt{1-\sqrt{3sinx}} + \sqrt{10}cosx=0[/tex]

[tex]x \in (-\pi ; 0)[/tex]

Преобразувах [tex]cosx= \sqrt{1-sin^2x}[/tex] след което получих това:

[tex]\sqrt{1-\sqrt{3sinx}} + \sqrt{10(1-sin^2x)}=0[/tex]

Тъй като подкоренната величина трябва да е положителна или равна на нула, а същевременно сбора е равен на нула трябва стойностите и под двата корена да са 0. Нали така?

Полагам sinx=t

и се получава

[tex]\sqrt{1-\sqrt{3t} = 0[/tex]

и

[tex]\sqrt{10-10t^2} = 0[/tex]


И от тук насетне не знам какво да правя

Може и да е греша тъй като наистина не разбирам тригонометричните уравнения.

[ganka simeonova]

Не можеш с лека ръка да вкараш под корен. Даденият интервал обхваща два квадранта, в които косинусът приема различни знаци.

[ganka simeonova]

Не можеш с лека ръка да вкараш под корен. Даденият интервал обхваща два квадранта, в които косинусът приема различни знаци. Освен това в [tex](-\pi ; 0) sinx<0[/tex]=> няма как да стои под корен квадратен.