Вписана окръжност в триъгълник

[Reshetnikov]

Здравейте.Преди няколко дена попаднах на една задача, и за съжаление не успях да я реша.Уж, изглежда лесна, но явно нещо съм пропуснал.Ето я и нея:

Даден е равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) с бедро 25. В него е вписана окръжност. Центърът на вписаната окръжност О, разделя височината от върха CH, на 5:2.Да се намери AB.


Благодаря предварително!

[admin]

Бихте ли направили чертеж, за да ви обясня решението?
Означете 3-те допирателни точки на окръжността с триъгълника както и радиуса.
Задачата се решава с теорема на Талес.

[Reshetnikov]

Бих направил чертеж, но за съжаление не знам точно по какъв начин да го кача, тъй като съм нов във форума.С прикачване на файл, или ... ?

[inveidar]

xexe.png (13.06 KiB) Прегледано 2622 пъти

Няма Талес. Свойство на ъглополовящата.
Първо е ясно, че понеже IH=r, а CI=r+DC (D е пресечната точка на СН с вписаната окръжност), то IH<CI, т.е [tex]\frac{CI}{IH }=\frac{5}{2 }[/tex]. Сега прилагаш свойството на ъглополовящата АI в триъгълника АНС (нали центърът на вписаната окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите?). Получаваш [tex]\frac{AC}{ AH}=\frac{5}{2 }[/tex]. Но АС=25, т.е [tex]\frac{25}{ AH}=\frac{5}{2 }[/tex] и намираш АН=10. Следователно АВ=20.

Използвам наготово факта, че петата на височината към основата и допирната точка на вписаната окръжност с основата съвпадат. Но това се доказва твърде лесно.

[Reshetnikov]

Да, благодаря много на отзовалите се. Наистина сега като го обеснихте, не изглежда толкова трудно, но явно не съм догледал някои работи.