TУ - София: Трапец

[metamorphosis]

Средната отсечка на равнобедрен трапец е 5 см. В трапеца може да се впише окръжност. Средната отсечка разделя трапеца на две части, чиито лица се отнасят както 7:13. Да се намери височината на трапеца.
Отг: 4.

[math10.com]

[tex]MN[/tex]- средна основа
[tex]AB+CD=2MN=10 ; CD=x ;=>AB=10-x[/tex]
[tex]DH\bot AB ; H\in AB ; DH_1\bot MN ; H_1\in MN ; =>DH_1=H_1H=\frac{1}{2}h[/tex] (от свойство на средната отсечка)
[tex]13S_{MNCD}=7S_{ABNM} ; =>13(x+5).\frac{1}{4}h=7(10-x+5).\frac{1}{4}h[/tex]
[tex]20x=40 ; =>CD=x=2 , AB=10-x=8[/tex]
[tex]AH=\frac{AB-CD}{2}=3[/tex]
[tex]AD=BC=\frac{1}{2}(AB+CD)=MN=5[/tex] свойство на вписаната окръжност
[tex]DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=4[/tex]