Задача за упражнение

[addicted]

Основата на равнобедрен триъгълник има дължина 2 и центърът на описаната му окръжност лежи върху центъра на вписаната му окръжност.Намерете бедрото на триъгълника.
Давайте различни решения-нека не се ограничавам само с едно.

[monika_at]

Основата на равнобедрен триъгълник има дължина 2 и центърът на описаната му окръжност лежи върху центъра на вписаната му окръжност.Намерете бедрото на триъгълника.
Давайте различни решения-нека не се ограничавам само с едно.

Според условието, ако си го написал коректно=>двата центъра съвпадат=>триъгълникът е равностранен.
Но, нещо не ми харесва условието.

[math10.com]

"Основата на равнобедрен триъгълник има дължина 2 и центърът на описаната му окръжност лежи върху вписаната му окръжност.Намерете бедрото на триъгълника."

Мисля, че така условието звучи по-добре.

[addicted]

"Основата на равнобедрен триъгълник има дължина 2 и центърът на описаната му окръжност лежи върху вписаната му окръжност.Намерете бедрото на триъгълника."

Мисля, че така условието звучи по-добре.

Да,това е коректното условие.Много се извинявам,в бързината и съм писал глупости

[monika_at]

Следваме чертежа.
1)От свойството на пресичащи се хорди=>[tex]CH.HP=AH.HB=>(R+2r)(R-2r)=1[/tex](1)
2)Oт питагоровата теорема за [tex]\Delta AHC=>b^2=(R+2r)^2+1[/tex](2)
3)От свойството на ъглополовящата за [tex]\Delta AHC=>\frac{R+r}{ r} =\frac{b}{ 1} =>b=\frac{R}{r } +1[/tex](3)

Правим система от (2) и (3) , чрез заместване, опростяваме и получаваме:
[tex]R=r^2(R+2r)[/tex](4). Делим почленно (1) и (4)=>

[tex]R=\frac{r^2}{R-2r } =>R^2-2Rr-r^2=0=>R=(1+\sqrt{2} )r[/tex]

Заместваме в (3)=>[tex]b=2+\sqrt{2}[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Всъщност това уравнение (хомогенното от 2ра степен за радиусите) може да се получи директно от формулата на Ойлер [tex]OI^2=2R^2-2Rr[/tex] след заместване на [tex]OI[/tex] с [tex]r[/tex].
П.П. Естествено трябва да се разгледа и случая,в който триъгълникът е равнобедрен и правоъгълен,но той не представлява трудност.

[admin]

Тази формула не може да се използва по време на изпит или ако се използва трябва да се докаже.

[inveidar]

[tex]OI^2=2R^2-2Rr[/tex]

Правилното е [tex]OI^2=R^2-2Rr[/tex]

[monika_at]

Всъщност това уравнение (хомогенното от 2ра степен за радиусите) може да се получи директно от формулата на Ойлер [tex]OI^2=2R^2-2Rr[/tex] след заместване на [tex]OI[/tex] с [tex]r[/tex].
П.П. Естествено трябва да се разгледа и случая,в който триъгълникът е равнобедрен и правоъгълен,но той не представлява трудност.

Да, това мислех да го пиша и после го забравих

[Mr.G{}{}Fy]

За формулата, Инвейдър, прав си, че съм объркал формулата (техническа грешка) .А иначе аз честно казано се съмнявам,че не може да се използва на изпит тази формула без доказателство-това като цяло винаги е било много спорно кое може и кое не може да се използва.Принципно се предполага,че за да ходиш на КС изпит в някой по-сериозен университет знаеш някоя друга формула,която не е включена в справочника, ама чак да тръгнем да ги доказваме ...Друг е въпроса,че според мен немалка част от кандидат-студентите не знаят как се доказва синусова и косинусова теорема.Естествено тук много хора може да не се съгласят с мен.Идеята ми е, че формулата не е безизвестна, а когато човек е на изпит малко или много е напрегнат и притеснен и да тръгне да доказва теорема или да се съобразява със справочниците-брошурки на СУ примерно, би било доста неприятно.