Още една упражнителна

[addicted]

Отсечките [tex]AA_1(A_1\in BC)[/tex] и [tex]BB_1(B_1\in AC)[/tex] са ъглополовящи в правоъгълния триъгълник[tex]ABC[/tex] с катети [tex]AC=3[/tex] и [tex]BC=4[/tex].Върху хипотенузата [tex]AB[/tex] е взета точка [tex]C_1[/tex] така,че [tex]\angle A_1B_1C_1 =90^\circ[/tex] .Пресметнете отношението[tex]\frac{AC_1}{ C_1B}[/tex]
Давайте различни решения-нека не се ограничаваме само с едно.

[admin]

Бихте ли прикачили чертеж?

[s.karakoleva]

Хубава задачка!
[tex]C_1[/tex] се намира като се издигне перпендикуляр от т. [tex]B_1[/tex] към [tex]B_1A_1[/tex].

Веднага се намира (по Питагорова теорема) хипотенузата [tex]AB=5[/tex], след което се намират [tex]\sin\alpha=\frac45, \cos\alpha=\frac35[/tex].

Използваме свойството на ъглополовящата. Нека [tex]AB_1=p, \ B_1C=3-p\Rightarrow \frac{p}{3-p}=\frac54\Rightarrow AB_1=\frac53, \ B_1C=\frac43.[/tex]

Аналогично за другата ъглополовяща: [tex]BA_1=q, A_1C=4-q\Rightarrow \frac{q}{4-q}=\frac53\Rightarrow BA_1=\frac52, \ CA_1=\frac32.[/tex]

Нека [tex]A_1Q\bot AB, \ Q\in AB.[/tex] От свойството на ъглополовящата [tex]CA_1=QA_1=\frac32[/tex]

[tex]\triangle A_1BQ\sim \triangle ABC[/tex] с коефициент на подобие [tex]\frac12\Rightarrow QB=2,\ A_1Q=\frac32, \ BA_1=\frac52.[/tex]

Нека [tex]AC_1=x, \ C_1B=5-x.[/tex] От [tex]BQ=2\Rightarrow C_1Q=3-x[/tex].

От [tex]\triangle C_1QA_1 \Rightarrow A_1C_1^2=(3-x)^2+\frac94[/tex].

От [tex]\triangle A_1B_1C \Rightarrow B_1A_1^2=\frac{16}9+\frac94[/tex].

[tex]\triangle A_1B_1C_1\Rightarrow B_1C_1^2=A_1C_1^2-A_1B_1^2=(3-x)^2+\frac94-\left(\frac94+\frac{16}{9}\right)=(3-x)^2-\frac{16}{9}[/tex]

От [tex]\triangle AC_1B_1[/tex] по Косинусова теорема [tex]B_1C_1^2=AC_1^2+AB_1^2-2\cdot AC_1\cdot AB_1\cdot \cos\alpha[/tex]

[tex](3-x)^2-\frac{16}{9}=x^2+\frac{25}{9}-2x\Leftrightarrow x=\frac{10}{9}[/tex]

[tex]\Rightarrow C_1B=5-x=\frac{35}{9}[/tex]

[tex]\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{x}{5-x}=\frac27[/tex]

[monika_at]

И още едно решение от мен, с тригонометрия:
Означаваме: [tex]\angle CB_1A_1=\varphi ; <CAB=\alpha =>\angle AB_1C_1=90^\circ -\varphi ; \angle AC_1B_1=90+(\varphi -\alpha )[/tex]

[tex]\Delta ABC=>sin\alpha =\frac{4}{5 } , cos\alpha =\frac{3}{ 5}[/tex]

[tex]\Delta A_1CB_1=>sin\varphi =\frac{9}{\sqrt{145} } , cos\varphi =\frac{8}{\sqrt{145} }[/tex]

[tex]sin(90^\circ -\varphi )=cos\varphi ; sin(90+(\varphi -\alpha ))=cos(\varphi -\alpha)=[/tex]

[tex]=cos\varphi cos\alpha +sin\varphi sin\alpha =\frac{12}{\sqrt{145} }[/tex]

Прилагаме син. т-ма за [tex]\Delta AC_1B_1=>\frac{AC_1}{AB_1 } =\frac{cos\varphi }{cos(\varphi +\alpha) }[/tex]=>

[tex]AC_1=\frac{10}{9 } =>C_1B=\frac{35}{9 } =>AC_1:C_1B=2:7[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Едно много елегантно, по мое мнение, решение е като се използва скаларно произведение.Взимаме векторната база [tex]\vec{CA}=\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{CB} =\vec{b}[/tex] . Взимаме [tex]\frac{\vec{AC_1} }{\vec{AB} } =\lambda[/tex] и сега използваме,че [tex]\vec{A_1B_1} .\vec{B_1C_1} =0[/tex] и намираме [tex]\lambda[/tex] .
Решението не е мое,бях го видял в едни упътвания преди.Не,че е далеч от акъла де,но в случая векторите са доста удобни и дори лицеприятни .Иначе в началото и аз тръгнах по това решение с тригонометрията.