Упражнителна 4

[addicted]

Върху страните [tex]BC[/tex] и [tex]CD[/tex] на квадрата [tex]ABCD[/tex] са взети съответно точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] така,че [tex]\frac{CM}{MB }= \frac{CN}{ND } =2[/tex].Докажете,че центърът на [tex]ABCD[/tex] е отроцентърът на триъгълника [tex]AMN[/tex].

[monika_at]

От равните диагонали и теоремата на Талес=>[tex]AO=3y; OH=y; HC=2y; NH=MH=2y[/tex]
[tex]\Delta DAN=>tg\alpha =\frac{1}{ 3}[/tex]; [tex]\Delta NAM=>sin\angle NAM=cos2\alpha =\frac{1-tg^2\alpha }{ 1+tg^2\alpha } =\frac{4}{5 }[/tex]
Прилагаме синусова теорема за същия триъгълник: [tex]R=\frac{NM}{ 2sin\angle NAM} =5y[/tex]

Понеже триъгълникът е равнобедрен, описаната окръжност ще пресече правата [tex]AH[/tex] в[tex]P[/tex], като =>
[tex]HP=AP-AH=y=>O[/tex] и[tex]P[/tex]са симетрични относно [tex]NM[/tex].
[tex]O[/tex]лежи на височината на триъгълника и е симетрична на точка от описаната окръжност, спрямо страна на триъгълника. Това е привилегия единствено на ортоцентърa.

[kucheto]

Ето и алтернативно векторно доказателство:
[tex]\vec{AB}=\vec{a},\ \vec{AD}=\vec{b},\ |\vec{a}|=|\vec{b}|,\ \vec{a}.\vec{b}=0;[/tex]
[tex]\vec{AO}=\frac{\vec{a}}{2}+\frac{\vec{b}}{2},\ \vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}=\vec{a}+\frac{\vec{b}}{3},\ \vec{AN}=\vec{AD}+\vec{DN}=\vec{b}+\frac{\vec{a}}{3};[/tex]
[tex]\vec{NM}=\vec{AM}-\vec{AN}=\frac{2\vec{a}}{3}-\frac{2\vec{b}}{3},\ \vec{NO}=\vec{AO}-\vec{AN}=\frac{\vec{a}}{6}-\frac{\vec{b}}{2};[/tex]
[tex]\vec{AO}.\vec{NM}=0,\ \vec{AM}.\vec{NO}=0\Rightarrow O[/tex] e ортоцентър на [tex]\triangle AMN.[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

От равните диагонали и теоремата на Талес=>[tex]AO=3y; OH=y; HC=2y; NH=MH=2y[/tex]
[tex]\Delta DAN=>tg\alpha =\frac{1}{ 3}[/tex]; [tex]\Delta NAM=>sin\angle NAM=cos2\alpha =\frac{1-tg^2\alpha }{ 1+tg^2\alpha } =\frac{4}{5 }[/tex]
Прилагаме синусова теорема за същия триъгълник: [tex]R=\frac{NM}{ 2sin\angle NAM} =5y[/tex]

Понеже триъгълникът е равнобедрен, описаната окръжност ще пресече правата [tex]AH[/tex] в[tex]P[/tex], като =>
[tex]HP=AP-AH=y=>O[/tex] и[tex]P[/tex]са симетрични относно [tex]NM[/tex].
[tex]O[/tex]лежи на височината на триъгълника и е симетрична на точка от описаната окръжност, спрямо страна на триъгълника. Това е привилегия единствено на ортоцентърa.

Направо използваме това,че [tex]AH.OH=NH.MH[/tex] и то ни дава право да твърдим,че т. [tex]O[/tex] е ортоцентър.