Упражнителна 5

[addicted]

Точките [tex]G[/tex] и [tex]O[/tex] са съответно медицентър и център на описаната около триъгълника [tex]ABC[/tex] окръжност.Намерете ъглите на този тръгълник,ако [tex]OG||AB[/tex] и [tex]12OG=AB[/tex].

[monika_at]

Поздравления за задачките. Харесват ми
Тъй като [tex]CH=2OM; OM=DH (OH||AB)=>OM=HD=d; CH=2d[/tex]Означаваме [tex]OG=x=>AM=MB=6x[/tex]
От подобието на [tex]\Delta GHC; \Delta MDC=>MD=3x=>DB=3x=>CM=CB[/tex]
Прилагаме формула за медианата [tex]CM=>c^2=2b^2-2a^2=>sin^2{(\alpha +\beta) }=2sin^2\beta -2sin^2\alpha[/tex] (следва от синусова теорема)
Прилагайки в дясната страна формулите за понижение на степента, разлика на косинуси и опростявайки, получаваме, че
[tex]tg\beta =3tg\alpha (1)=>tg\gamma =\frac{4tg\alpha }{ 3tg^2\alpha-1 } (2)[/tex]
[tex]S_{AOB}=S_{AGB}=\frac{1}{ 3} S_{ABC}=>\frac{3}{2 } R^2sin2\gamma =\frac{1}{ 2} 4R^2sin\alpha sin\beta sin\gamma[/tex]=>пак след опростяване
[tex]tg\alpha tg\beta =3(4)[/tex]
От (1), (2), (3)=>[tex]tg\alpha =1=>\alpha =45^\circ ; tg\beta =3; tg\gamma =2[/tex]

П.П. Надявам се, не съм оплескала сметките.
Тази задача има и обобщение. Ако [tex]GO[/tex] е успоредна на някоя от страните, то тангенсите на ъглите образуват аритметична прогресия. Аз не ползвах този факт на готово.

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]CD.DH=AD.BD ==> d=3x[/tex]