Функия, допирателни?

[hari]

Намерете абцисите на точките от графиката на функцията
y=[tex]\frac{1}{3 }x^{3}+x^{2}-3x+1[/tex] в които допирателната към графиката на функцията сключват остър ъгъл с положителната посока на оста Ох.
Намирам първата производна
[tex]y'= x^{2}+2x-3[/tex] и корените х=-3 и х=1 и от тък нататък не знам

[Anubis]

Допирателната в [tex]x_{0}[/tex] има уравнение [tex]\operatorname{tangent}: \, y = kx+b, \, \quad k = f'(x_{0})[/tex].

Ъгловият коефициент на допирателната в точката [tex](x_{0}; \, f(x_{0}))[/tex] е равен на [tex]f'(x_{0})[/tex]. От друга страна,

[tex]k = f'(x_{0}) = \tan \alpha[/tex], където [tex]\alpha[/tex] е ъгълът между допирателната и положителната посока на [tex]Ox[/tex].

Тогава, за да е остър този ъгъл, трябва [tex]\tan \alpha > 0 \Rightarrow f'(x_{0})>0 \Rightarrow x_{0}^2+2x_{0}-3>0[/tex]. Оттук намираме, че

[tex]x_{0} \in (-\infty; \, -3) \cup (1; \, +\infty)[/tex].

Нека допълним задачата. Да се напише уравнението на допирателната в точка с произволно избрана

абсциса, попадаща в този интервал. Аз съм избрал да е в точката [tex]\left ( 2; \, \frac{5}{3} \right )[/tex].