Упражнителна 6

[addicted]

Даден е равностранен триъгълник [tex]ABC[/tex] .Да се намери геометричното място на точките [tex]M[/tex] в равнината на триъгълника,за които [tex]MA^2 + MB^2 = MC^2[/tex]

[monika_at]

Нека т.М е вътрешна за триъгълника и е такава, че АС се вижда от нея под ъгъл [tex]\angle AMC=150^\circ[/tex]

Нека [tex]MA=y. MC=x, MB=z[/tex] Построяваме равностранен [tex]\Delta MCS[/tex]=>имаме еднакви триъгълници:

[tex]\Delta ACM; \Delta BCS[/tex] (1 признак)=>[tex]BS=y; \angle SCB=150^\circ =>\angle MSB=90^\circ =>[/tex]

[tex]\Delta MSB[/tex]-правоъгълен=>[tex]x^2+y^2=z^2[/tex] (1 чертеж)

Ако т. М е външна и лежи на голямата дъга АС, пак се получава такава зависимост. ( 2 чертеж)
Т.е. ГМТ е окръжност с център О и хорда АС, която разделя окръжността на две дъги от [tex]300^\circ ; 60^\circ[/tex]
Имаме общо три такива окръжности.