Симулативен изпит УАСГ 30.06.2013

[chefi7]

Помогнете с 3 в)

[chefi7]

споделете вашите решения

[chefi7]

кажете вашите решения, какво получавате

[monika_at]

Следим чертежа. От теоремата за трите перпендикуляра=>[tex]\angle ABM=90^\circ[/tex].Също така
[tex]MC=2\sqrt{3}, AM=4; BM=\sqrt{15}[/tex]
[tex]AM||\delta[/tex] Ще означим равнината с делта, не с ро, заради изписването на LaTeX.
[tex]AM||\delta ; \delta \cap (ACM)=EO=>EO||(ABM); AB\in(ABM)[/tex]
Тогава разстоянието м/у [tex]EO; AB[/tex]е разстоянието м/у [tex]EO; (ABM)[/tex]. Да го означим с [tex]OP=d[/tex]
За да го намерим ще ползваме метода на обемите. Да разгледаме пирамидата [tex]AOBM[/tex] с основа [tex]AOB[/tex]
[tex]V_{AOBM}=\frac{1}{3 } S_{AOB}.MC=\frac{1}{ 2}[/tex]
Сега да разгледаме същата пирамида с основа [tex]ABM[/tex] и височина [tex]OP=d=>V_{ABMO}=\frac{1}{3 } .\frac{\sqrt{15} }{2 } d[/tex]
Приравнявайки двата обема, намираме [tex]OP=d[/tex]

[chefi7]

благодаря за решението

[chefi7]

Някой ходил ли е на 7 на симулативен в УАСГ ?

[Anubis]

Ясно е, че [tex]AB[/tex] ще е диаметър на окръжността, тогава [tex]\angle ACB = 90^\circ[/tex].

[tex]\angle AFB = 180^\circ-\varphi \Rightarrow \angle AFO = \angle BFO = 90^\circ-\frac{\varphi}{2} \Rightarrow \angle OAF = \frac{\varphi}{2}[/tex]

Лесно се пресмята, че [tex]OF = \tan \frac{\varphi}{2}[/tex] и [tex]h_{ABCD} = \sin \varphi[/tex] (височината на трапеца е равна на

височината към хипотенузата в [tex]\triangle ABC[/tex]).

[tex]KF+FO=KO=h_{ABCD} \Rightarrow KF = \sin \varphi - \tan \frac{\varphi}{2} = \tan \frac{\varphi}{2} \cos \varphi[/tex]

[tex]\triangle ABF \sim \triangle CDF \Rightarrow \frac{AB}{CD} = \frac{FO}{FK} = \frac{1}{\cos \varphi} \Rightarrow CD = 2 \cos \varphi \Rightarrow S_{ABCD} = \frac{AB+CD}{2} h_{ABCD}[/tex]

Нека [tex]S(\varphi) = (1+\cos \varphi) \sin \varphi[/tex]. Полагаме [tex]\cos \varphi = t[/tex] и получаваме [tex]\operatorname{max} \quad h(t) = (1+t) \sqrt{1-t^2}[/tex].

От [tex]h'(t) \ge 0[/tex] следва, че [tex]h_{\operatorname{max}} = h \left ( \frac{1}{2} \right ) \Rightarrow \varphi = 60^\circ[/tex].

[monika_at]

Някой ще пусне ли симулативния изпит?