геометрия

[mathinvalidnik]

Диагоналите AC и BD на изпъкнал четириъгълник ABCD се пресичат в точка O.Нека точките M,N,P,Q са средите съответно на AB,BC,CD,AD.Да се намери лицето на четириъгълника MNPQ ако [tex]AC=\sqrt{8},BD=6 ,S AOB-S BOC=90^\circ[/tex]

П.п Какво трябва да значи [tex]S AOB-S BOC=90^\circ[/tex] ?

[ganka simeonova]

3 ли е?

[mathinvalidnik]

да

[Spider Iovkov]

Всичко е на картинката. Понеже [tex]M, \, N, \, P, \, Q[/tex] са среди на съответните страни, то [tex]MN, \, NP, \, PQ, \, QM[/tex] са средни отсечки. Тогава

[tex]MN = PQ = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{8}}{2}[/tex] и [tex]NP = QM = \frac{BD}{2} = 3[/tex].

Очевидно е изпълнено [tex]MN||PQ[/tex] и [tex]PN||QM[/tex], откъдето четириъгълникът [tex]MNPQ[/tex] е успоредник.

Означаваме [tex]\angle AOB=\varphi \Leftrightarrow \angle BOC=\varphi-90^\circ[/tex], защото по условие [tex]\angle AOB - \angle BOC = 90^\circ[/tex]. От друга страна,

[tex]\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ \Leftrightarrow \varphi = 135^\circ \Leftrightarrow \angle AOB=135^\circ \Leftrightarrow \angle BOC = 45^\circ[/tex].

Сега [tex]S_{MNPQ} = MN.NP. sin \angle MNP \ \Leftrightarrow S_{MNPQ} = \frac{\sqrt{8}}{2}.3. sin 45^\circ \Leftrightarrow S_{MNPQ} = 3[/tex].