Параметрично уравнение

[elementyy]

Моля ви помогнете ми как да реша това:

За кои стойности на a уравнението 2sinx+3cosx=a има решение ?

Отговорът е между минус корен от 13 и + корен от 13.

[inveidar]

Има стандартен метод. При уравнения от вида [tex]asinx+bcosx=c[/tex] делиш на [tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex]. В твоя случай - на [tex]\sqrt{13}[/tex]. Получаваш уравнението [tex]sinx+\frac{3}{\sqrt{13} }cosx=\frac{a}{\sqrt{13} }[/tex]. След това полагаш [tex]cos\varphi =\frac{2}{\sqrt{13} },sin\varphi= \frac{3}{\sqrt{13} }[/tex] и получаваш [tex]sin(x+\varphi)=\frac{a}{\sqrt{13} }[/tex]. Сега вече е ясно, че за да има решения уравнението, то изразът вдясно трябва да е от интервала [tex][-1;1][/tex], т.е [tex]\frac{a}{\sqrt{13} }\ge -1[/tex] и [tex]\frac{a}{\sqrt{13} }\le1[/tex] и си готов.

[inveidar]

Има стандартен метод. При уравнения от вида [tex]asinx+bcosx=c[/tex] делиш на [tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex]. В твоя случай - на [tex]\sqrt{13}[/tex]. Получаваш уравнението [tex]\frac{2}{\sqrt{13} }sinx+\frac{3}{\sqrt{13} }cosx=\frac{a}{\sqrt{13} }[/tex]. След това полагаш [tex]cos\varphi =\frac{2}{\sqrt{13} },sin\varphi= \frac{3}{\sqrt{13} }[/tex] и получаваш [tex]sin(x+\varphi)=\frac{a}{\sqrt{13} }[/tex]. Сега вече е ясно, че за да има решения уравнението, то изразът вдясно трябва да е от интервала [tex][-1;1][/tex], т.е [tex]\frac{a}{\sqrt{13} }\ge -1[/tex] и [tex]\frac{a}{\sqrt{13} }\le1[/tex] и си готов.