УАСГ изпит на 13.07.2013

[chefi7]

Nqkoi hodi li na izpita? Kak vi se storiha zadachte? Pomnite li nqkoi otgovor?

[enchantinggirl]

Задачите не бяха лесни, ама не бяха и много трудни.
1а х=1 и х=-1/4
1б решава се с разположение на корените защото 1-х<=0 и оттам корените на квадратното уравнение трябва фа са по малки от 1. Следователно к е (9;+безкрайност)
1в спомням си че к=49/2 и оттам се замества в израза и се получава някакво число.

2 задача си беше стандартна. Решава се с подобие и доста смятане.

3а V=a^3 по корен от 2.
Намираме че CC1=a о оттам лесно се доказва, че сечението успоредник и дори ромб.
Ъгъла между равнината на сечението и равнината на основата мисля, че беше 60 градуса.

Ако ви трябват подробни решения, казвайте.

[inveidar]

Някой ще качи ли задачите?

[enchantinggirl]

http://www.uacg.bg/UserFiles/File/ksk20 ... matika.pdf

[Anubis]

На зад. 3 получавате ли, че ъгълът между двете равнини е [tex]60^\circ[/tex] и лицето на успоредника е [tex]\frac{2a^2}{\sqrt{2}}[/tex]?

[saipul]

Anubis,

толкова получавам и аз

Хубави са задачките общо взето

[petrowa_10]

а бе на 1a задача не ли е х=2 и х=-1/4

[math10.com]

а бе на 1a задача не ли е х=2 и х=-1/4

[tex]DM: x\le 1[/tex]
[tex]x=2 \notin DM[/tex] и не е решение.......

[Anubis]

а) [tex]\angle C_{1}AC = 30^\circ, \, AC = a \sqrt{3} \Rightarrow CC_{1} = a \Rightarrow V = \sqrt{2} a^3[/tex]

б) Отсечките [tex]AM[/tex] и [tex]MC_{1}[/tex] ще са части от сечението. Понеже [tex]BCC_{1}B_{1} || ADD_{1}A_{1}[/tex], то [tex]\alpha[/tex] ще пресече

[tex]ADD_{1}A_{1}[/tex] в права, успоредна на [tex]MC_{1}[/tex]. Построяваме [tex]AP || MC_{1}[/tex]. Тогава сечението е успоредникът

[tex]AMC_{1}P[/tex] (защо?).

Нека [tex]PK \bot AM[/tex]. Ако построим [tex]PT \bot AD[/tex], то [tex]PT || AA_{1}[/tex]. Ортогоналната проекция върху основата на

[tex]PK[/tex] е [tex]TK[/tex]. Оттук [tex]TK \bot AM[/tex]. Понеже пресечницата на [tex]\alpha[/tex] и [tex]ABCD[/tex] е [tex]AM[/tex], двустенният ъгъл между

равнините е [tex]\varphi = \angle PKT[/tex].

Сега [tex]\fbox{PT = a}[/tex]. [tex]\triangle AMD[/tex] е равнобедрен с [tex]AM = MD = a \sqrt{\frac{3}{2}}[/tex] и [tex]AD = a\sqrt{2}[/tex].

[tex]T -[/tex] среда на [tex]AD, \Rightarrow MT \bot AD[/tex]. Така [tex]TK[/tex] е височина към хипотенузата в правоъгълния [tex]\triangle AMT[/tex]. Ето

защо [tex]\fbox{TK = \frac{a}{\sqrt{3}}}[/tex]. Вече [tex]\tan \varphi = \frac{PT}{TK} = \sqrt{3} \Rightarrow \varphi = 60^\circ[/tex].

От [tex]\triangle TKP[/tex] пресмятаме [tex]\cos \varphi = \frac{TK}{PK} \Rightarrow PK = \frac{2a}{\sqrt{3}} \Rightarrow S_{AMC_{1}P} = AM \cdot PK = \frac{2 a^2}{\sqrt{2}}[/tex].

[Anubis]

Зад. 1, а). Няма смисъл да се коментира.

б) [tex](k x^2 -7 x - 2) \sqrt{1-x} = 0[/tex] има корен [tex]\alpha = 1[/tex]. Трябва [tex]1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1[/tex].

Ако разположението е [tex]1<x_{2}<x_{3}[/tex], не се удовлетворява условието в допустимото множество.

Ако разположението е [tex]x_{1}<1<x_{3}[/tex], уравнението ще има само два корена.

Остава вариантът [tex]x_{1}<x_{2}<1[/tex]. Трябва да покажем, че при [tex]k>9[/tex] е изпълнено [tex]x_{1}<1, \quad x_{2}<1[/tex].

[tex]\operatorname{max} \quad h(k) = \frac{7+\sqrt{49+8k}}{2k}[/tex] при ограничение [tex]k \ge 9[/tex] има решение [tex]k=9 \Rightarrow \operatorname{max} \quad h(k) = 1[/tex], ето защо при

[tex]k>9[/tex] имаме [tex]h(k)<1[/tex].

За [tex]g(k) = \frac{7-\sqrt{49+8k}}{2k}: \quad k>9, \, \lim_{k \to +\infty} g(k) = 0, \, g(9) = -\frac{2}{9}[/tex].

Значи уравнението има три корена [tex]x_{1}, \, x_{2}, \, x_{3}=1[/tex], които удовлетворяват [tex]x_{1}<x_{2}<1[/tex].

в) [tex]x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+4x_{1}x_{2}x_{3} = x_{1}^2+x_{2}^2+1+4x_{1}x_{2} = \left ( x_{1}+x_{2} \right )^2 - 2 x_{1} x_{1} + 1 + 4 x_{1} x_{2}[/tex]

От формулите на Виет [tex]x_{1}+x_{2} = \frac{7}{k}, \, x_{1}x_{2} = -\frac{2}{k}[/tex].

Разглеждаме функцията [tex]h(k) = \frac{49}{k^2} - \frac{4}{k} + 1[/tex]. С полагането [tex]u = \frac{1}{k}[/tex] стигаме до

[tex]h(u) = 49u^2-4u+1[/tex]. Тя има минимум в точката [tex]u_{0} = -\frac{b_{0}}{2a_{0}} = \frac{4}{2 \cdot 49} = \frac{2}{49} \Rightarrow h_{\operatorname{min}} = \frac{45}{49}[/tex].

[eddie]

1.а. От ДМ: х≤1 следва, че x=1 и x=-1/4 са решения, съответно x=2 не е.

1.б. Нея я решавам с разположение корените на квадратно уравнение, но получавам два интервала k(-49/8;0) и (9;+безкр.) Не знам, някъде съм сбъркал може би или? Правя система от:
1. D>0 от тук следва, че k>-49/8
2. Хv<1 от тук два интервала k (-безкр.;0) и (7/2;+безкр.)
3. a.f(1)>0 а от тук k (-безкр.;0) и (9;+безкр.)
като направя сечение и ми излиза отговор k(-49/8;0) и (9;+безкр.) ?

1.в. Първо си отделям точен квадрат за x1^2 + x2^2 става (x1+x2)^2 -2.x1.x2, след това намирам по Виет колко е x1+x2 и x1.x2, x3=1 от корена, замествам и получавам дробна функция k^2-4k+49/k^2 с производни стигам до min f(k) се постига при 49/2 и като заместя във функцията получавам 45/49 ??

2.а. Решавам с подобни триъгълници за ▲ABC под.на ▲ADC и ▲ABC под.на ▲BDC

2.б. Решавам с два триъгълника ▲AOP и ▲BOP - правоъгълни, където PO=5=r и sinα=4/5 от първата точка. За лицето на O1O2M използвам правоъг. трапец O1KMO2 , където O1K = 3 = r1, изваждам от неговото лице, лицето на правоъг.▲O1KM и получавам, че лицето на ▲O1O2M = 14 ???

[Anubis]

eddie, ти решаваш различна задача.

Права задача. Да се намерят стойностите на параметъра [tex]k[/tex], за които е изпълнено [tex]x_{1}<x_{2}<x_{3}[/tex]. Тя се

прави с разпределение на корените.

Обратна задача. Ако стойностите на параметъра са [tex]k>9[/tex], да се докаже, че [tex]x_{1}<x_{2}<x_{3}[/tex].

Ние трябва да решим обратната задача.

[eddie]

eddie, ти решаваш различна задача.

Права задача. Да се намерят стойностите на параметъра [tex]k[/tex], за които е изпълнено [tex]x_{1}<x_{2}<x_{3}[/tex]. Тя се

прави с разпределение на корените.

Обратна задача. Ако стойностите на параметъра са [tex]k>9[/tex], да се докаже, че [tex]x_{1}<x_{2}<x_{3}[/tex].

Ние трябва да решим обратната задача.

Може ли да хвърлиш малко светлина върху това обратно решение... ще съм ти много благодарен!

[Anubis]

На теб ти е дадено, че [tex]k>9[/tex], и се иска да се покаже, че при тези стойности на параметъра е изпълнено

[tex]x_{1}<x_{2}<x_{3}[/tex]. За целта намираш корените на квадратния тричлен като функции на параметъра и гледаш

какво е поведението на тези функции при [tex]k>9[/tex]. Понеже [tex]x_{1}<x_{2}<1[/tex], просто трябва да се види дали за

всяко [tex]k>9[/tex] двете функции са по-малки от [tex]1[/tex].

[inveidar]

Зад. 1, а). Няма смисъл да се коментира.

б) [tex](k x^2 -7 x - 2) \sqrt{1-x} = 0[/tex] има корен [tex]\alpha = 1[/tex]. Трябва [tex]1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1[/tex].

Ако разположението е [tex]1<x_{2}<x_{3}[/tex], не се удовлетворява условието в допустимото множество.

Ако разположението е [tex]x_{1}<1<x_{2}[/tex], уравнението ще има само два корена.

Остава вариантът [tex]x_{1}<x_{2}<1[/tex]. Трябва да покажем, че при [tex]k>9[/tex] е изпълнено [tex]x_{1}<1, \quad x_{2}<1[/tex].

[tex]\operatorname{max} \quad h(k) = \frac{7+\sqrt{49+8k}}{2k}[/tex] при ограничение [tex]k \ge 9[/tex] има решение [tex]k=9 \Rightarrow \operatorname{max} \quad h(k) = 1[/tex], ето защо при

[tex]k>9[/tex] имаме [tex]h(k)<1[/tex].

За [tex]g(k) = \frac{7-\sqrt{49+8k}}{2k}: \quad k>9, \, \lim_{k \to +\infty} g(k) = 0, \, g(9) = -\frac{2}{9}[/tex].

Значи уравнението има три корена [tex]x_{1}, \, x_{2}, \, x_{3}=1[/tex], които удовлетворяват [tex]x_{1}<x_{2}<1[/tex].

в) [tex]x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+4x_{1}x_{2}x_{3} = x_{1}^2+x_{2}^2+1+4x_{1}x_{2} = \left ( x_{1}+x_{2} \right )^2 - 2 x_{1} x_{1} + 1 + 4 x_{1} x_{2}[/tex]


От формулите на Виет [tex]x_{1}+x_{2} = \frac{7}{k}, \, x_{1}x_{2} = -\frac{2}{k}[/tex].

Разглеждаме функцията [tex]h(k) = \frac{49}{k^2} - \frac{4}{k} + 1[/tex]. С полагането [tex]u = \frac{1}{k}[/tex] стигаме до

[tex]h(u) = 49u^2-4u+1[/tex]. Тя има минимум в точката [tex]u_{0} = -\frac{b_{0}}{2a_{0}} = \frac{4}{2 \cdot 49} = \frac{2}{49} \Rightarrow h_{\operatorname{min}} = \frac{45}{49}[/tex].

Анубис, б) се решава много по-просто като намериш дискриминантата на [tex]f(x)=kx^2-7x-2=0[/tex] и установиш, че е положителна за дадените к-та(НЕ СИ ГО НАПРАВИЛ!), което означава, че това уравнение има два различни РЕАЛНИ корена. След това лесно проверяваш, че [tex]k.f(1)>0[/tex] и [tex]-\frac{-7}{2k }<1[/tex], което означава, че 1 е надясно от корените. Това е.

За подточка в) при полагането трябва да определиш в какъв интервал се изменя u, а именно [tex]u\in(0;\frac{1}{ 9} )[/tex] и след това задължително да докажеш, че [tex]u_0[/tex] е от този интервал, защото ако не е, то минимум няма. В противен случай решението е непълно. COMPRENDE?

[Anubis]

Инвейдър, това за [tex]D[/tex] в условие б) мисля, че е ясно, ето защо не съм го писал. Вижда се и с просто око. За

в) съм съгласен, да.

Ще разсея съмненията ви, като кажа, че не съм кандидат-студент и не съм ходил на този изпит. Аз съм 4

курс приложна математика и даже утре ми е държавният изпит!!!

[inveidar]

Инвейдър, това за [tex]D[/tex] в условие б) мисля, че е ясно, ето защо не съм го писал. Вижда се и с просто око. За

в) съм съгласен, да.

Ще разсея съмненията ви, като кажа, че не съм кандидат-студент и не съм ходил на този изпит. Аз съм 4

курс приложна математика и даже утре ми е държавният изпит!!!

Зная, че не си кандидатстудент, но обясняваш на кандидатстуденти(настоящи и бъдещи). Няма да е зле да им се обяснява така, че да могат да си решат задачите изцяло и коректно, нали?

[gabyyy]

Може ли да напишете отговора на 3-та задача в.) , на 2-ра задача б.) - колко е лицето на триъгълника и в.) - лицето на APC? Благодаря !