Подобни триъгълници

[abcd1233]

Мъчат ме тази седмица задачите от В група на подобни триъгълници и ако някой може да реши следната задача ще ми бъде много от помощ.
В правоъгълен триъгълник ABC е построена височината CD към хипотенузата.Да се докаже,че: а)ако M и P са средите съответно на CD и BD,то AM e перпендикулярна на CP; б) ако АЕ и CK са ъглополовящи съответно на триъгълник ABC и
триъгълник CDB, то EK е успоредна на BC.

[Knowledge Greedy]

Съжалявам за забавянето от 1 месец, но тогава още не бяхме го учили. Дано послужи като малък преговор сега.
За деветокласниците:
а)[tex]\Delta ACD\Delta \sim \Delta CBD[/tex] по първи признак. Оттук следват пропорциите [tex]\frac{CD}{BD }= \frac{AD}{CD }[/tex][tex]\Longrightarrow[/tex][tex]\frac{MD}{ND }= \frac{AD}{CD },[/tex] поради [tex]MD=\frac{1}{2 }CD[/tex] и [tex]ND=\frac{1}{2 }BD.[/tex]Следователно [tex]\Delta AMD \sim \Delta NBD[/tex], според втори признак.
Подобните триъгълници от 19ноември.PNG
б)

Подобните триъгълници от 19ноември.PNG

Подобните триъгълници от 19ноември.PNG (6.75 KiB) Прегледано 232 пъти

От свойството на ъглополовящата [tex]AE[/tex] в [tex]\Delta ABC:[/tex] [tex]\frac{CE}{EB}=\frac{AC}{AB}[/tex] (1)
От свойството на ъглополовящата [tex]CK[/tex] в [tex]\Delta CBD:[/tex] [tex]\frac{DK}{KB}=\frac{CD}{CB}[/tex] (2)
Да разгледаме триъгълниците [tex]\Delta CBD[/tex] и [tex]\Delta ABC[/tex], те са подобни и можем да напишем пропорциите [tex]\frac{CB}{AB }=\frac{CD}{AC }[/tex] (3)
От равенствата (1), (2) и (3) извеждаме [tex]\frac{DK}{KB}=\frac{CD}{CB}[/tex] -приложено към ъгъла [tex]\angle DBC[/tex] по теоремата на Талес, правим извод [tex]EK \parallel CD.[/tex]