Тема от Русия

[estoyanovvd]

ТУК!

[ganka simeonova]

Емо, браво за темата. Може ли, да напишеш отделно само 5 задача, защото не се чете.

[estoyanovvd]

При мен се чете.

[ganka simeonova]

В 5 задача. След намерете стойността на ф- та
скобите са една в/у друга и нищо не се разбира. Ако не е проблем напиши я

[estoyanovvd]

Нека [tex]f(x)=\frac{x}{ 3}+2[/tex]. Намерете стойността на функцията [tex]f(...(f(f(x))...)[/tex](2009 пъти f!) за x=2.

[estoyanovvd]

Ето я пак:

[ganka simeonova]

Благодаря!

[ganka simeonova]

7зад) От [tex]\frac{1}{ r}=\frac{p}{ S} =\frac{2}{2S } (a+b+c)=\frac{1}{ 2S} (\frac{2S}{ h_a} +\frac{2S}{ h_b} +\frac{2S}{ h_c})[/tex]
=>[tex]\frac{1}{ r} =\frac{1}{ h_a} +\frac{1}{ h_b}+\frac{1}{ h_c} =>\frac{1}{ h_a} +\frac{1}{ h_b}+\frac{1}{ h_c}=1[/tex]
Тази сума от аликвотни дроби е възможна само при :
1)[tex]h_a=h_b=h_c=3=>a=b=c=2\sqrt{3}[/tex]
2)[tex]h_a=2; h_b=3; h_c=6[/tex], но тогава [tex]\frac{1}{h_a } =\frac{1}{ h_b} +\frac{1}{ h_c} =>a=b+c[/tex]=> a, b, c не биха могли да са страни на триъгълник.

[ganka simeonova]

5 зад) [tex]f_1(4)=\frac{4+2.3}{3 }[/tex]
[tex]f_2(x)=\frac{4+2.3+2.3^2}{3^2 }[/tex]
[tex]f_3(4)=\frac{4+2.3+2.3^2+2.3^3}{ 3^3}[/tex]
...................................
[tex]f_{2009}(4)=\frac{4+2.3+2.3^2+2.3^{2009}}{ 3^{2009}}=\frac{4+3(3^{2009}-1)}{ 3^{2009}}=\frac{1+3^{2010}}{ 3^{2009}}[/tex]

[estoyanovvd]

[tex]\frac{1}{ h_a} +\frac{1}{ h_b}+\frac{1}{ h_c}=1[/tex]
Тази сума от аликвотни дроби е възможна само при :
1)[tex]h_a=h_b=h_c=3=>a=b=c=2\sqrt{3}[/tex]
2)[tex]h_a=2; h_b=3; h_c=6[/tex], но тогава [tex]\frac{1}{h_a } =\frac{1}{ h_b} +\frac{1}{ h_c} =>a=b+c[/tex]=> a, b, c не биха могли да са страни на триъгълник.

Cъщо така и при 3)[tex]h_a=2; h_b=4; h_c=4[/tex], което ме навява на мисълта, че това твърдение би трябвало и да се докаже!

[ganka simeonova]

Cъщо така и при 3)[tex]h_a=2; h_b=4; h_c=4[/tex], което ме навява на мисълта, че това твърдение би трябвало и да се докаже!

Даааа, добре, ще се опитам

[Flame]

Зад.10)
Нека x и y удовлетворяват системата
[tex]\left|\begin{array}{c}y-x \le 5\\y+4 x\le -5\\ 3 y+2x\ge -5\end{array}[/tex]
Намерете множеството от стойности на израза [tex]x^2+y^2[/tex]

Задачата е еквивалентна на следната нелинейна оптимизационна задача:

Да се намери [tex]min{\{x^2+y^2\}}[/tex]
при дадени ограничения
[tex]\left|\begin{array}{c}y-x \le 5\\y+4 x\le -5\\ 3 y+2x\ge -5\end{array}[/tex]

Да се намери [tex]max{\{x^2+y^2\}}[/tex]
при дадени ограничения
[tex]\left|\begin{array}{c}y-x \le 5\\y+4 x\le -5\\ 3 y+2x\ge -5\end{array}[/tex]

След изчертаване на трите ограничения се вижда, че всички точки, които удовлетворяват дадената система от неравенства се намитрат в триъгълник с ограничения трите прави.
Координатите на този триъгълник намираме при решаване на съответните системи

[tex]\left|\begin{array}{c}y-x = 5\\3 y+2x=-5\end{array}[/tex] решението дава точка A(-4,1)

[tex]\left|\begin{array}{c}y+4x = -5\\3 y+2x=-5\end{array}[/tex] решението дава точка B(-1,-1)

[tex]\left|\begin{array}{c}y-x = 5\\y+4x= -5\end{array}[/tex] решението дава точка C(-2,3)

Така намерихме координатите на върховете на търсения триъгълник.

Сега съобразяваме, че израза [tex]x^2+y^2[/tex] е лявата част на уравнението на окръчност в нормален вид. При това с център на окръжността точката [tex]O(0,0)[/tex].
[tex]x^2+y^2=R^2[/tex]- по друг начин казано търсим минималния и максималния радиус при който нашата окръжност се допира или пресича така намерения триъгълник.

Без да привеждам пълното решение оказва се, че в точка [tex]A(-4,1)[/tex] се получава максималният възможен радиус, който удовлетворява условията.(При коректен чертеж в някакъв мащаб задачата бързо излиза).
[tex](-4)^2+1^2=R_{max}^2 \Leftrightarrow R^2=17[/tex]

Mинималното възможно съприкосновение е допиране на окръжността до правата -
[tex]y+4x=-5[/tex] или:
[tex]\left|\begin{array}{c}y+4x = -5\\y^2+x^2=R^2\end{array}[/tex] Не е необходимо да решаваме тази параметрична система, като и търсим единственост на решението относно R.
По-добре е да съставим [tex]\bot[/tex] права на дадената в системата и да минава през началото на координатната система (центъра на окръжността).
[tex]\left|\begin{array}{c}y+4x =-5\\\frac{1}{4 }.x=y\end{array}[/tex], това вече е по-човешко и решението е [tex]D(\frac{-20}{17 },\frac{-5}{17})[/tex].
За тази точка получаваме:
[tex](\frac{-20}{17 })^2+(\frac{-5}{17})^2=R_{min}^2 \Leftrightarrow R^2=\frac{25}{17}[/tex]


Окончателно получаваме:

[tex]\frac{25}{17 }\le x^2+y^2\le 17[/tex]

[ganka simeonova]

Значи трябва да решим в естествени числа уравнението
[tex]xy+yz+zx=xyz[/tex] Считаме, че [tex]0<x\le y\le z[/tex]

[tex]xyz=xy+yz+xz\le yz+yz+yz=3yz=>x\le 3[/tex]

1)[tex]x=1=>y+yz+z=yz[/tex]- противоречие

2)[tex]x=2=>2y+yz+2z=2yz=>2y+2z=yz[/tex] Тогава [tex]yz\le 4z=>y\le 4[/tex]

С непосредствена проверка се установява, че при [tex]y=3=>z=6; y=4; z=4[/tex]

3) [tex]x=3=>3y+3z=2yz=>2yz\le 3z+3z=6z=>y\le 3=>y=3; z=3[/tex]

Така окончателно получаваме и трите възможности за [tex](x;y;z)[/tex], а именно
[tex](2;4;4); (2;3;6); (3;3;3)[/tex]

[SV.SV]

6) 11 ли е отг?

[estoyanovvd]

Не!

[seppen]

Задача 8.
[tex]\normal f(x) = 2 \cos 3x + 8 |\sin x| - 7[/tex]
f(x) е четна [tex]\normal \Rightarrow[/tex] ако [tex]\normal x_0[/tex] е решение, то и [tex]\normal -x_0[/tex] е решение [tex]\normal \Rightarrow[/tex] сборът от корените в [tex]\normal \[ - \frac{2 \pi}{3}; \frac{2 \pi}{3} \][/tex] е 0.

Остава да разгледаме [tex]\normal x \in \[ \frac{2 \pi}{3}; \frac{3 \pi}{4} \][/tex], където f е намаляваща като сбор на две намаляващи функции.
[tex]\normal min = f\(\frac{3 \pi}{4}\)=5\sqrt{2}-7>0 \Rightarrow[/tex] няма корени в този интервал.

Отговор 0.

Edit: оправено.

[estoyanovvd]

Да, с малка забележка в края за минимума. Вместо 9 не е ли 5?

[seppen]

Да, толкова е. Хубавото е, че пак е по-голямо от 0.