Задача от кандидатстудентски сборник по математика

[dsd321]

Здравейте,
искам да ви помоля за малко съдействие за една задача. В сборника, от който е задача, има решенията. Когато имам трудност в самото им решаване гледам отзад и с малко зор и по пътя на логиката я решавам. Проблемът ми с тази задача, обаче се изразява в това, че има една част от показано решение, която не разбирам как се получава. Не ми е проблем да го прескоча и да продължа напред, защото съм го видял как е и съм го преписал и така да си продължа с решаването на задачата. Проблемът е, че може да ми се падне подобно на изпита, а аз да не знам какво да правя. А искам да знам защо е така

Ако ще помогне задача е от: Тема №2, зад. 2.4 а)
Сборник: Готови ли сме за кандидатстудентския изпит? Теми по математика на Иван Тонов и Чавдар Лозанов (изд. Анубис)

Ето и самата задача:

Да се намерят всички стойности на реалния параметър а, при които всички стойности на функцията

принадлежат на интервала [0;1]

След като преработя израза, той добива вида:

Полагам на t и замествам във функцията

До тук всичко е правилно, но след като получавам новата функция, в която вече съм заместил с t, отзаде в решението имам това: И получаваме новата функция


Въпросът ми е откъде идва това, че [tex]t\in [1;2][/tex]

Мерси предварително

[monika_at]

[tex]-1\le cosx\le 1=>0\le cos^2x\le 1=>2^0\le 2^{cos^2x}\le 2^1=>1\le t\le 2[/tex]

Ползваме, че ф-та [tex]y=2^z[/tex] е растяща.

[dsd321]

Здравейте,

Съжалявам, че ви притеснявам отново, но имам затруднение с две алгебрични задачи. Бях помолил госпожата ми по математика в училище да ми помогне, но така и не стана . Поради тази причина се обръщам към вас. Не пускам нова тема, за да не спамя много.

Зад. 1
Нека [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] са корени на уравнението [tex]ax^{2 }+bx+c=0[/tex] (a[tex]\ne[/tex]0). Да се изрази чрез [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] изразът:

a) [tex]x_{1}^{4} + x_{2}^{4}[/tex]

Започвам да го разлагам и преобразувам, за да мога да получа формулите на Виет и да изразят израза чрез а,b и с. И въпреки това постоянно не ми се получава крайния резултат, който всъщност е :

[tex]\frac{b^{4} - 4ab^{2}c + 2a^{2}c^{2}}{ a^{4}}[/tex]

б) [tex]\sqrt{x_{1}} +\sqrt{x_{2}}[/tex]

[tex](x_{1}\ge 0, x_{2}\ge0)[/tex]

Крайния отговор е: [tex]\sqrt{-\frac{b}{a } +2\sqrt{\frac{c}{ a} } }[/tex]

Благодаря ви предварително за отделеното време и наистина ще съм ви много признателен за помощта

[kmitov]

Да не ти пука! И на мен не ми се получава всичко каквото искам.

[kmitov]

Е Ганка може и да ти го обясни след вторник.

[monika_at]

Е Ганка може и да ти го обясни след вторник.

''Лееееекичко прекаляваш, в този форум с писанията си....Не е ли така? Това е то, дървената ваканция и годинките....

[pal702004]

Напиши какво и как получаш. Ще се опитаме да ти помогнем.

[Knowledge Greedy]

За да получим [tex]x^{4}_{1}+x^{4}_{2}[/tex] явно трябва да повдигнем на втора степен [tex]x^{2}_{1}+x^{2}_{2}[/tex], нали?
Но тогава
[tex](x^{2}_{1}+x^{2}_{2})^{2}=x^{4}_{1}+2x^{2}_{1}x^{2}_{2}+x^{4}_{2}[/tex].
Следователно
[tex]x^{4}_{1}+x^{4}_{2}= (x^{2}_{1}+x^{2}_{2})^{2}-2(x_{1}x_{2})^{2}[/tex]
И ако правилно си получил чрез формулите на Виет [tex]x^{2}_{1}+x^{2}_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}[/tex], вече можем да получим и [tex]x^{4}_{1}+x^{4}_{2}[/tex].
Имаме
[tex]x^{2}_{1}+x^{2}_{2}=(-\frac{b}{a } )^{2}-2\frac{c}{a }=\frac{b^{2}-2ac}{a^{2} }[/tex]
Вкарваме полученото във формулата по-горе за [tex]x^{4}_{1}+x^{4}_{2}[/tex]:
[tex]x^{4}_{1}+x^{4}_{2}= (\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}})^{2}-2(x_{1}x_{2} )^{2}[/tex] , повдигаме на втора степен и поставяме и втората формула на Виет:
[tex]x^{4}_{1}+x^{4}_{2}= \frac{b^{4}-4b^{2}ac+4a^{2}c^{2}}{a^{4}}-2(\frac{c}{a } )^{2}[/tex]
Привеждаме под общ знаменател
[tex]x^{4}_{1}+x^{4}_{2}= \frac{b^{4}-4b^{2}ac+4a^{2}c^{2}}{a^{4}}-\frac{2a^{2}c^{2}}{a^{4} }[/tex]
и излиза твоят отговор

[dsd321]

Мерси за помощта

pal702004, моя начин се различава от този на Knowledge Greedy. Вероятно, защото аз почвам да го разлагам по формулата за n-та степен

[tex]a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+^{n-2}b + a^{n-3}b^{2}...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2} +b^{n-1}[/tex]

След това се опитвам, чрез различни действия, да получа формулите на Виет и накрая след изразвяване чрез а,b и с да получа крайния отговор. В крайният ми отговор винаги липсваше нещо, веднъж [tex]a^{2}[/tex], друг път [tex]b^{2}[/tex]

Тоест нещо подобно на формулите като тези на втора или трета степен. И сигурно съм се заблудил, защото примерно в моя случай можем да представим

[tex]x^{4}_{1}+x^{4}_{2}[/tex]
като:
[tex](x^{2}_{1}+x^{2}_{2})^{2}[/tex]
Но ако примерно изразът беше:
[tex]x^{7}_{1}+x^{7}_{2}[/tex]
то единствения начин е чрез използване на формулата на n-та степен. В този ред на мисли я приложих към моя израз. Надявам се разбрахте какво имам предвид. Малко ми куцат обясненията.

А за б) [tex]\sqrt{x_{1}} +\sqrt{x_{2}}[/tex] ето какво аз получавам:

Повдигам на втора
[tex](\sqrt{x_{1}} +\sqrt{x_{2}})^{2}[/tex]

[tex](\sqrt{x_{1}})^{2} + 2\sqrt{x_{1}x_{2}} + (\sqrt{x_{2}})^{2}=x_{1} + 2\sqrt{x_{1}x_{2}} + x_{2}=x_{1} + x_{2} +2\sqrt{x_{1}x_{2}}=-\frac{b}{ a} +2\sqrt{\frac{c}{ a} }[/tex]

Липсва ми единия радикал, със сигурност бъркам някъде, но не разбирам къде.

[Knowledge Greedy]

Е, това, което си получил - коренувай!
Решил си я

[pal702004]

dsd321, формулата за сумата на n-тите степени,която търсиш, е рекурсивна:

[tex]x_1^n+x_2^n=(x_1+x_2)(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})-x_1x_2(x_1^{n-2}+x_2^{n-2})[/tex]

Много е удобна като се работи с конкретни числа, но може и като в твоят случай с параметри. Например задача: Ако [tex]x_1,x_2[/tex] са корени на уравнението [tex]x^2+3x+4=0[/tex], да се намери [tex]x_1^7+x_2^7[/tex] (или на която си искаш степен). Да означим с [tex]S_k=x_1^k+x_2^k[/tex] Нашата рекусивна функция придобива вид
[tex]S_n=-3S_{n-1}-4S_{n-2}[/tex], с начали значения

[tex]S_0=2[/tex] (сборът на две числа в нулеви степени винаги е 2)
[tex]S_1=-3[/tex]
нататък
[tex]S_2=-3\cdot(-3)-4\cdot 2=1[/tex]
[tex]S_3=-3\cdot 1-4\cdot(-3)=9[/tex]
[tex]S_4=-3\cdot(9)-4\cdot1=-31[/tex]
и т.н
[tex]S_7=-87[/tex]

[dsd321]

Knowledge Greedy, ако правилно съм разбрал: Повдигам на втора, за да извърша действията, а в края на задачата коренувам получения израз, защото първоначално изразът ми, който трябва да изразя чрез a,b и c е [tex]\sqrt{x_{1}} +\sqrt{x_{2}}[/tex]

Ясно, мерси pal702004 ще ми бъде полезно

[pal702004]

Ясно, мерси pal702004 ще ми бъде полезно

Като е ясно, търсим

[tex]x_1^{2014}+x_2^{2014}[/tex], където [tex]x_1,x_2[/tex] са корени на уравнението

[tex]x^2-x+1=0[/tex]

[dsd321]

С висша математика ли ще ме предизвикваш ??

Ето какво успях да направя, въпреки че с параметър ми е по - лесно:

[tex]S_{2014}=1.S_{2013} - 1S_{2012}[/tex]

Оттук нататък не знам дали действията, които извършвам са верни:

[tex]S_{2014}=S_{2013} - S_{2012}[/tex]

[tex]S_{2014}=S_{1}[/tex]

[tex]S_{2014}=x_{1} + x_{2}[/tex]

[tex]S_{2014}=-\frac{b}{ a}[/tex]

[tex]S_{2014}=1[/tex]

[pal702004]

Не, не, не. Няма как с параметър да ти е по-лесно. Не се "спускай." Започни отдолу нагоре,
[tex]s_0,s_1,s_2\cdots[/tex] с цифрички.

[dsd321]

Е то е голяма играчка до 2014

[tex]S_{0}=2[/tex]

[tex]S_{1}=1[/tex]

[tex]S_{2}=1.1-1.2=-1[/tex]

[tex]S_{3}=1.(-1)-1.1=-2[/tex]

[tex]S_{4}=1.(-2)-1.(-1)=-1[/tex]

[tex]S_{5}=1.(-1)-1.(-2)=1[/tex]

[tex]S_{6}=1.1-1.(-1)=2[/tex]

[tex]S_{7}=1.2-1.1=1[/tex]

[tex]S_{8}=1.1-1.2=-1[/tex]

[tex]S_{9}=1.(-1)-1.1=-2[/tex]

[tex]S_{10}=1.(-2)-1.(-1)=-1[/tex]

[tex]S_{11}=1.(-1)-1.(-2)=1[/tex]
[tex]...[/tex]

Ако това досега е правилно, то тогава се забелязва, че получавам някаква закономерност и накрая получам отговора.

[tex]S_{2014}=1.(-2)-1.(-1)=-1[/tex]

Между другото това от какъв раздел е? В смисъл нещо свързано със статистика, полиноми или...?

[pal702004]

Между другото това от какъв раздел е? В смисъл нещо свързано със статистика, полиноми или...?

Теория на числата да го наречем, ама със зор.(остатък от делене на 2014 на 6)

[Knowledge Greedy]

Може и към рекурентни редици да го впишем.

[dsd321]

Здравейте,

пробвам се да реша една задача, но някъде изпускам някой детайл. Ще се радвам, ако ми кажете къде бъркам (не искам да ми решавате задачата). Леле наистина съм много нахален...

Зад: Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението [tex]ax^{2} +x+a-1=0[/tex] има два различни реални корена [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex], такива че
[tex]\left|\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{ x_{2} }\right|>1[/tex]

Отг.: [tex]a\in (0;1)\cup (1;\frac{6}{5 })[/tex]

Решение:

1)Уравнението трябва да има два различни реални корена, следователно:

[tex]ax^{2} +x+a-1=0[/tex]
[tex]D=b^{2}-4ac=1^{2}-4a(a-1)=1-4a^{2}+4a>0[/tex]

[tex]-4a^{2}+4a+1>0/.(-1)[/tex]

[tex]4a^{2}-4a-1<0[/tex]

[tex]D=k^{2}-ac=2^{2}-4.(-1)=4+4=8[/tex]

[tex]\sqrt{D} =\sqrt{8} =2\sqrt{2}[/tex]

[tex]a_{1}=\frac{-k + \sqrt{D} }{a }=\frac{2+2\sqrt{2} }{ 4}=\frac{2(1+\sqrt{2}) }{ 4} =\frac{1+\sqrt{2} }{2 }[/tex]

[tex]a_{2}=\frac{-k - \sqrt{D} }{a }=\frac{2-2\sqrt{2} }{ 4}=\frac{2(1-\sqrt{2}) }{ 4} =\frac{1-\sqrt{2} }{2 }[/tex]

[tex]a\in (\frac{1-\sqrt{2} }{2 };\frac{1+\sqrt{2} }{2 })[/tex]

2)Решавам модулното неравенство опитвайки се да достигна формулите на Виет и след това да ги изразя чрез а,b и c

1)[tex]\left|\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{ x_{2}} \right|>1[/tex]

Решавам две неравенства:

1.1) [tex]\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{ x_{2}}[/tex] [tex]>1[/tex]

1.2) [tex]\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{ x_{2}}[/tex] [tex]<-1[/tex]
______________________________________________________________
[tex]\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{ x_{2}}[/tex] [tex]>1[/tex]

[tex]\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{ x_{2}}[/tex] [tex]-1>0[/tex]

[tex]\frac{x_{2} - x_{1} - x_{1}x_{2}}{ x_{1}x_{2}}[/tex][tex]>0[/tex]

[tex]\frac{-x_{1} + x_{2} - x_{1}x_{2}}{ x_{1}x_{2}}[/tex][tex]>0[/tex]

Стигам до тук и запецвам, по същия начин и за 1.2). Минус да изнеса пред скоби не става, общ множител пред скоби пак не става.

Зная, че [tex]x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a }[/tex]

[tex]x_{1}+x_{2}=-\frac{1}{a }[/tex]

а също, че

[tex]x_{1}x_{2}=\frac{c}{ a}[/tex]

[tex]x_{1}x_{2}=\frac{a-1}{ a}[/tex]

Не може ли примерно да изразя единия корен чрез другия и после да ги заместя в израза?

[0xdeadbeef]

Hint: Повдигни двете страни на неравенството на квадрат.

[kmitov]

[tex]|\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}|>1 \Leftrightarrow |\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}|^2>1 \Leftrightarrow \left(\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\right)^2>1[/tex]

[tex]\left(\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\right)^2=\frac{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}{(x_1x_2)^2}[/tex]

[math10.com]

Може да използваш и това :[tex]|x_2-x_1|=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}[/tex]

[dsd321]

Здравейте,

реших една задача. Вярна е, но недоумявам защо крайния отговор е : [tex]x\in [-2;-1] \cup [2;3][/tex], а не [tex]x\in [-1;2) \cup [3;+\infty)[/tex]

Условието е: Да се реши уравнението

[tex]|x^{2} - x - 2|+ |6 + x - x^{2}| = 4[/tex]

По принцип трябва да реша всяко едно уравнение в съответния интервал и корените, които получа ако принадлежат на този интервал са решение и на уравнението, но явно не е така или...

[pepsitka]

Виж си решението.
за 1 случай (първият разглеждан интервал) - нямаш решение
за 2 случай - всяко х от разглеждания интервал е решение, т.е. всяко число от интервала [-2, -1)
за 3 случай - решението e -1
за 4 случай - всяко х от разглеждания интервал е решение, т.е. всяко число от интервала [ 2, 3)
за 5 случай - решението e 3.
Като обединиш всички решения, ще получиш верния отговор.

Задачата се решава по-бързо с полагане.

[Knowledge Greedy]

Най-бързо задачата се решава наистина с полагане, като излезем за малко в полето на комплексните числа.
Да се реши уравнението [tex]|x^2-x-2|+|x^2-x-6|=4[/tex].
Решение:
Нека означим [tex]x^2-x-4=z[/tex].
Уравнението добива вида [tex]\left | z+2 \right |+\left | z-2 \right |=4[/tex].

Решение с комплексни числа.PNG (10.45 KiB) Прегледано 696 пъти

Графиката на това уравнение в комплексната равнина е елипсата показана на чертежа, като точките [tex]M, F_{1}[/tex] и [tex]F_{2}[/tex] са афикси на комплексните числа [tex]z[/tex], [tex](-2)[/tex] и [tex]2[/tex].
(В декартови координати уравнението и е [tex]x^2+5y^2=80.[/tex])
Модулите [tex]\left | z+2 \right |= F_{1}M[/tex] и [tex]\left | z-2 \right |= F_{2}M[/tex] са разстоянията от произволна точка [tex]P[/tex] до фокусите. Самото [tex]F_{1}F_{2} = 4[/tex] и поради неравенството на триъгълника [tex]F_{1}P+F_{2}P\ge F_{1}F_{2}[/tex] , равенството е възможно тогава и само тогава, когато точката [tex]P[/tex] е от вътрешността или контура на отсечката [tex]F_{1}F_{2}[/tex] . Това означава, че [tex]-2\le z \le 2[/tex].
Следователно всички решения са онези [tex]x[/tex], за които [tex]-2\le x^2-x-4\le 2[/tex].
Така системата [tex]\left|\begin{matrix}
x^2 & - x & -2 & \geq 0 \\
x^2 & - x & -6 & \leq 0
\end{matrix}\right.[/tex] най-бързо дава отговора на задачата: [tex]\forall x \in [-2;-1]\cup [2;3][/tex].
=======================================
Благодарение на щастливото стечение на обстоятелствата