Да се намери градиентът на функцията

[gulush]

1.png (31 KiB) Прегледано 687 пъти

Моля помогнете ми с тази задача...

[gulush]

И тази ...дано не ми помогнете...

[gulush]

и следващата

[Knowledge Greedy]

Зад. 3 а)
[tex]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cosxcos2x}{1-cosx }[/tex]
С малко тригонометрия го свеждаме до
[tex]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\frac{1}{2} (cos3x+cosx)}{1-cosx }[/tex]
след това го разбиваме на две събираеми
[tex]\frac{1}{2}( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos3x}{1-cosx }[/tex][tex]+\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cosx}{1-cosx })[/tex]
Втората граница е очевидно 1, а в първата още малко тригонометрия (еех това средно училище!!?)
[tex]\frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos3x}{1-cosx }[/tex][tex]=\frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2sin^{2}\frac{3x}{2 } }{2sin^{2}\frac{x}{2 } }[/tex] [tex]=\frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cancel{2}sin^{2}\frac{3x}{2 } }{\cancel{2}sin^{2}\frac{x}{2 } }[/tex][tex]=\frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} (\frac{sin{\frac{3x}{2 }} } {{\frac{3x}{2} }})^{2}[/tex][tex]:(\frac{sin{\frac{x}{2 }} } {{\frac{x}{2} }})^{2}.9[/tex]
и, като използваме на два пъти основната граница [tex]\lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{sin\alpha }{\alpha }=1[/tex], за крайния отговор получаваме [tex]5,5[/tex].

[Knowledge Greedy]

Задача 7.
[tex]z(x,y)=ln(exy)[/tex]
[tex]\frac{ \partial z}{ \partial x }=\frac{ey}{exy }=\frac{1}{x }[/tex]
[tex]\frac{ \partial z}{ \partial y }=\frac{ex}{exy }=\frac{1}{y }[/tex]
[tex]\nabla {z}=\frac{1}{x } \vec{i} +\frac{1}{y } \vec{j}[/tex]
[tex]\nabla {z}(C)=\frac{1}{2} \vec{i} +\frac{1}{2} \vec{j}[/tex]

[gulush]

Много ти благодаря за задачите, много ми помогна Мога ли да публикувам още няколко задачи, би ли ми помогнал?

[Knowledge Greedy]

Не гарантирам за бързина, но ще опитам каквото мога.

Задача 8. [tex]z=x^{3}+3xy^{2}-51x-24[/tex]
Намираме частните производни.
[tex]\frac{\partial z}{\partial x} =3x^{2}+3y^{2}-51[/tex]
[tex]\frac{\partial z}{\partial y} =6xy-24[/tex]
Решаваме системата
[tex]\left |\begin{matrix}
3x^{2}+3y^{2}-51=0 \\
6xy-24=0
\end{matrix}\right[/tex]
След съкращаване, изразяване, заместване ... получаваме
[tex]\left |\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}=17 \\
xy=4
\end{matrix}\right[/tex] ... четири възможни точки за екстремуми на функцията [tex]z=z(x,y)[/tex].
Това са (4,1), (-4,-1), (1,4), (-1,-4). Наричаме ги още стационарни точки.
Сега продължаваме с вторите производни:
[tex]\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2}=6x[/tex];[tex]\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2}=6x[/tex]; [tex]\frac{\partial ^2 z}{\partial x\partial y}=6y[/tex]
Образуваме още[tex]\Delta =\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2}.\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2}-\begin{bmatrix}
\frac{\partial ^2 z}{\partial x\partial y}
\end{bmatrix}^{2}[/tex]
Явно [tex]\Delta =36(x^{2}-y^{2}).[/tex]
Теорията постановява, че при [tex]\left |\begin{matrix}
\Delta_{M}>0 \\
\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2}_{M}<0 \\
\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2}_{M}<0
\end{matrix}\right[/tex] функцията [tex]z(x,y)[/tex] има максимум в точката [tex]M[/tex],
а при [tex]\left |\begin{matrix}
\Delta_{M}>0 \\
\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2}_{M}>0 \\
\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2}_{M}>0
\end{matrix}\right[/tex] функцията [tex]z(x,y)[/tex] има минимум в точката [tex]M[/tex].
Проверяваме за всяка от четирите стационарни точки трите условия, след което - ако са изпълнени, пресмятаме съответните екстремуми. Така установяваме, че в [tex]M_{2}(-4,-1)[/tex][tex]\rightarrow[/tex] [tex]max z = z(-4,-1)=104[/tex] и в [tex]M_{1}(4,1)[/tex][tex]\rightarrow[/tex] [tex]minz = z(4,1)=-152[/tex] .

Проверявай сметките!