Параметрично модулно уравнение

[tedkoos]

Здравейте!Ще съм ви много благодарен,ако ми обясните как се решава тази задача.
Да се намерят всички стойности за реалния параметър а ,за които уравнението има единствено реално решение

x.I x+2a I+1-a =0

Благодаря!

[Knowledge Greedy]

Уравнението има корен [tex]x=0,[/tex] но при [tex]a=1.[/tex] Тогава обаче, този корен не е единствен - получава се, че [tex]x_{2}=-2[/tex]
Нека [tex]x\ne 0[/tex]. Уравнението е равносилно на [tex]f(x)=g(x),[/tex]
където [tex]f(x)= |x+2a|[/tex] и [tex]g(x) = \frac{a-1}{ x}[/tex]. Явно [tex](a-1)[/tex] и [tex]x[/tex] са с еднакви знаци.
Да разгледаме първи случай
[tex]\left |
a>1 \\
x>0
\right.[/tex]

Параметрично модулно уравнение чертеж1.PNG (6.71 KiB) Прегледано 299 пъти

Върхът на начупената линия [tex]f(x)= |x+2a|[/tex] - точката [tex]x=-2a[/tex] е на границата между втори и трети квадрант, самата начупена линия е над абсцисната ос, докато частта от хиперболата е в трети квадрант - тук не може да има пресечни точки. Във втори квадрант частта от хиперболата [tex]g(x) = \frac{a-1}{ x}[/tex] е насочена "надолу-надясно" - намаляваща функция и има само една пресечна точка с лъча от начупената линия "нагоре-надясно", т.к. [tex]f(x)[/tex] е растяща функция в [tex](0,\infty ).[/tex]
Втора възможност е
[tex]\left |
a<0 \\
x<0
\right.[/tex]


Тук само намаляващата част на [tex]f(x)[/tex] се пресича в една точка с растящата клонка на хиперболага [tex]g(x)[/tex] във втори квадрант, т.е. уравнението има единствен отрицателен корен. За [tex]x\in (0,+\infty )[/tex] графиките на двете функции се разминават, защото [tex]f(x)[/tex] има графика изцяло в първи квадрант, а тази на [tex]g(x)[/tex]
е изцяло в четвърти (виж чертеж 2) и друг корен няма.

Параметрично модулно уравнение чертеж2.PNG (10.61 KiB) Прегледано 299 пъти

Остава трети случай - когато:
[tex]\left |
0 \le a<1 \\
x<0
\right.[/tex]
Явно [tex]x\ge -2a[/tex]
Уравнението придобива вида [tex]x^{2}+2ax+1-a=0[/tex]
[tex]D=a^2+a-1\ge 0\Leftrightarrow a\in (-\infty ,-\frac{1+\sqrt{5} }{ 2}]\cup [\frac{-1+\sqrt{5} }{ 2} ,+\infty )[/tex]
и само коренът [tex]x=-a+\sqrt{a^2+a-1}[/tex] е отрицателен, при [tex]a<1[/tex] и при нововъзникналото ограничение, т.е. [tex]a\in (\frac{-1+\sqrt{5} }{ 2};1)[/tex].
Отговор: [tex]\forall a\in (-\infty ,0] \cup (\frac{-1+\sqrt{5} }{ 2};1) \cup (1 ,+\infty )[/tex].