Вписан четириъгълник

[monika_at]

Четириъгълникът [tex]ABCD[/tex]е с взаимно перпендикулярни диагонали [tex]AC, BD[/tex] и е вписан в окръжност.
[tex]AB=7; CD=1[/tex]. Да се намерят другите две страни на четириъгълника, така че лицето му да е максимално.

Аз искам да попитам, задачата преопределена ли е?

заб. Давана е на изпит в СУ през 2007.

[monika_at]

Оттеглям въпроса си:) Просто "спорихме" с един колега, който твърдеше, че задачата може да се реши без условие за максимално лице и аз изпаднах в недоумение. После, той каза, че не е прав:)

[Knowledge Greedy]

[tex]S_{ABCD}=\frac{1}{2 }AC.BD.sin\angle (AC,BD)[/tex]
С теоремата на Птолемей оценяваме [tex]AC.BD=AB.CD+AD.BC[/tex]
По условие [tex]\angle (AC,BD)=90^\circ[/tex], [tex]AB=7[/tex] и [tex]CD=1[/tex], следователно [tex]max S_{ABCD}[/tex] се достига тогава и само тогава, когато се достига [tex]max {AD.BC}[/tex] .
Използвайки неравенството между средно аритметично и средно геометрично [tex]\sqrt{AD.BC}\le \frac{AD+BC}{2 }[/tex], установяваме кога се достига най-голямата стойност на [tex]AD.BC[/tex]- при [tex]AD=BC[/tex].
Геометрично погледнато [tex]ABCD[/tex] става равнобедрен трапец, вписан в окръжност. Бедрата - другите две страни лесно пресмятаме, че са по [tex]5.[/tex]
(Максималното лице излиза, че е 16.)
-------------------------------------------------
В един момент, човек се чуди да не би задачата да е неопределена!?
Но за преопределена едва ли.

[monika_at]

Аз я решавам по абсолютно същия начин.

[Blackshogun]

Ако ми начертаете вписан трапец, който да не е равнобедрен шапка ви свалям,то си е дадено по в условието,че е равнобедрен и понеже диагоналите сключват прав ъгъл има едно възможно решение ,или от d1[tex]\bot[/tex]d2 \Rightarrow 2c^2=A^2+B^2 H=(a+b)/2

[Knowledge Greedy]

Blackshogun !
В училище винаги трябва да внимаваме с чертежите. Чертежът често се възприема от ученика като даденост, като част от условието. Но условието е едно, а разсъждението, което води до чертежа и самият чертеж са съвсем друго.
Чета внимателно условието и нищо не виждам за някакъв трапец.
Виждам това

Репликата на Черния Шогун.PNG (8.32 KiB) Прегледано 926 пъти

А то не ми прилича на трапец !?

[Blackshogun]

Не,не е извинявам се ,прибързах,утре ми е изпита днес цял ден учих и в крайна сметка главата ми е каша...надявам се до утре да се избистри и да не допускам такива малоумни грешки...
И все пак най-заслужено ти свалям шапка, поклон пред знанията и уменията ри,редовно следя отговорите ти и съм меко казано възхитен от копентността ти в математиката...

[inveidar]

Би била преопределена, ако въпросният четириъгълник е единствен. Но има безброй много четириъгълници, вписани във въпросната окръжност с перпендикулярни диагонали и срещуположни страни 7 и 1. Предлагам задачата: От всички четириъгълници, вписани в дадена окръжност, със две срещуположни страни равни съответно на 7 и 1, да се намери този, който има най-голямото лице. Отговор: Равнобедрен трапец с основи 7 и 1.

[Zarrie]

А аз имам друг въпрос, тъй като точно преди седмица решавах дадения изпит и се зачудих защо въпреки, че изучавам математика 2 (профилирана подготовка), тези задачи не сме ги срещали никога

[monika_at]

А аз имам друг въпрос, тъй като точно преди седмица решавах дадения изпит и се зачудих защо въпреки, че изучавам математика 2 (профилирана подготовка), тези задачи не сме ги срещали никога

Това са така наречените "екстремални задачи". Питай учителката си.