УАСГ 06.04.2014 г.

[vaslence]

Някой спомня ли си задачите от изпита в неделя?
Разбрах, че са се запазили 3-те трудни задачи, но са добавили още 5 със затворен отговор.
Ще е хубаво, ако разбера някоя и друга задача, много ми е интересно.

[kdikova]

1. а) да се докаже, че х1=cos160 е корен на уравнението x^3 - 3x + 1 = 0
в) cos40.cos160.cos280= -1/8 да се докаже,че равенството е тъждество
2. Даден е куб с ръб а, точките М, Р и N са от една равнина, която пресича куба, като точка М принадлежи на АD и AM=DM, точка N принадлежи на AB и AN=2BN и точка Р принадлежи на BB1, като BP=4PB1.
а) да се намери ъгълът между равнината (MNP) и (ABCD)
б) да се намери разстоянието от върхът B до равнината (MNP)
3. Даден е триъгълник ABC с ъгъл [tex]\alpha[/tex] и \beta , в който е вписана окръжност к с радиус - 1см. Допирателната на окръжността, успоредна на страната BC пресича триъгълника, в точките М и N.
а) Да се намери лицето на трапеца MNCB?
б) ако ъгъл \alpha е 90, да се намери за коя стойност на ъгъл \beta лицето на трапеца е най-малко.

[Knowledge Greedy]

Можем да докажем, че [tex]cos160^\circ[/tex] НЕ Е корен на уравнението [tex]x^3-3x+1=0[/tex].
Наистина[tex]-1<x=cos160^\circ <0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]-1<x^3<0[/tex]
Също така
[tex]0<-3x<3[/tex]
И като ги съберем
[tex]-1<x^3-3x<3[/tex]
и им добавим единица
[tex]0<x^3-3x+1<4[/tex]
- виждаме, че възможност за равенство на нула е някой ъгъл, чиито косинус съвсем не е [tex]cos160^\circ[/tex].

[monika_at]

Абсолютно съм съгласна с Knowledge Greedy .

Функцията [tex]f(x)=x^3-3x+1[/tex]има лок. максимум за [tex]x=-1=>y_{max}=3[/tex] и локален минимум за

[tex]x=1=>y_{min}=-1[/tex], като за [tex]x\in [-1; 0], f(x)[/tex] е намаляваща. Обаче [tex]f(0)=1>0=>x\in [-1; 0][/tex]

функцията приема само положителни стойности и няма как да има корен в този интервал.

[tex]cos160^\circ \in (-1; 0)[/tex]

[monika_at]

Като забележка. [tex]cos160^\circ[/tex] е корен на уравнението [tex]8x^3-6x+1=0[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]1.)\ x^3-3x+1=0[/tex]

[tex]x=2cos\alpha[/tex]

[tex]8cos^3\alpha-6cos\alpha+1=0[/tex]

[tex]2(4cos^3\alpha-3cos\alpha)+1=0[/tex]

[tex]2cos(3\alpha)+1=0[/tex]

[tex]cos(3\alpha)=-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]3\alpha=\pm 120^\circ+k.360^\circ[/tex]

[tex]\alpha_1=40^\circ\\
\alpha_2=80^\circ\\
\alpha_3=160^\circ[/tex]

[tex]x_1=2cos40^\circ\approx 1,532\\
x_2=2cos80^\circ\approx 0,347\\
x_3=2cos160^\circ\approx -1,879[/tex]

От Теорема на Виет: [tex]x_1x_2x_3=-1\Rightarrow 8cos40^\circ cos80^\circ cos160^\circ=-1\Rightarrow cos40^\circ cos(360-80)^\circ cos160^\circ=-\frac{1}{8}[/tex]
[tex]\Rightarrow cos40^\circ cos160^\circ cos280^\circ=-\frac{1}{8}[/tex]

[monika_at]

Да, [tex]x_3=2cos160^\circ[/tex], което се разминава с условието.

[monika_at]

Сега се свързах с една моя ученичка от 12 клас, която беше на изпит. Условието е:

Да се докаже, че [tex]2 cos{\frac{2\pi }{ 9}}[/tex]е решение на [tex]x^3-3x+1=0[/tex]

[kdikova]

моя грешка. 2cos160 беше, да. но тази е елементарна.. интересуваше ме повече как бихте подходили към решението на третата, с куба? тя е по-интересна

[vaslence]

Ето ги решенията на задачите:
http://uacg.bg/filebank/att_6692.pdf

[polina_cvetanova]

Знаете ли каква е формулата, с която се изчислява оценката тази година?