Насоки за решение на задачите

[jo_stefanova]

зад.1 : През пресечената точка на ъглополовящите в равнобедрен триъгълник е построена права успоредна на основата.Отсечката от нея заклщчена между бедрата на триъгълника е 6 см. Да се намери бедрата и основата на триъгълника, ако обиколката на триъгълника е 32 см.
зад.2 : Да се намери R за триъгълника АВС , ако АС е 30 см, ВС е 26 см, височината СН = 24 см.
зад.3 : Бедрото на равнобедрен триъгълник е 12 см., а височината към основата е 8 см. Да се намери радиуса на описаната около него окръжност.

Благодаря предварително

[Knowledge Greedy]

По задача 1.
Като означим основата с [tex]2x[/tex]
От условието за периметъра представяме [tex]AC=16-x[/tex]
Прилагаме свойството на ъглополовящата и изразяваме [tex]CI[/tex] и [tex]MI[/tex], където [tex]q[/tex] е коефициент на пропорционалност.
След това установяваме, че [tex]AK=IK=3[/tex] - от успоредността и ъглополовящата.

Edna nasoka.png (5.88 KiB) Прегледано 474 пъти

Прилагаме теоремата на Талес [tex]\frac{AK}{KC }=\frac{IM}{CI }[/tex] за ъгъл[tex]\angle ACM[/tex] и двойката успоредни прави [tex]AM[/tex] и [tex]KI[/tex].
Решаваме уравнението [tex]\frac{3}{13-x }=\frac{x}{16-x }[/tex]
и получаваме [tex]x=4.[/tex]
Оттук страните - основа [tex]8[/tex] и бедра по [tex]12.[/tex]

[Knowledge Greedy]

зад.2. Да се намери R за триъгълника АВС , ако АС е 30 см, ВС е 26 см, височината СН = 24 см.
С две питагорови теореми за [tex]\Delta ADC[/tex] и за [tex]\Delta BDC[/tex] намираме ортогоналните проекции на дадените страни върху основата [tex]AB[/tex]. Резултатите от пресмятанията са на чертежите.
Но внимавай, jo_stefanova! Имаме два случая.
В единия [tex]AB=8[/tex],

Насоки за решение 2.PNG (4.22 KiB) Прегледано 454 пъти

а в другия [tex]AB=28[/tex].

Насоки за решение 1.PNG (5.21 KiB) Прегледано 454 пъти

Остава да приложим формулата свързваща радиуса [tex]R[/tex] на описаната окръжност със страните и лицето
( виж тук
http://www.math10.com/bg/geometry/ Формули за лице)
[tex]R=\frac{abc}{4S }[/tex]
В единия случай [tex]S=96[/tex], а в другия [tex]S=336[/tex].
Съответно в първия намираме [tex]R=16\frac{1}{4 }[/tex], а във втория се оказва ... също[tex]R=16\frac{1}{4 }[/tex].
Интересно защо!

зад.3. Бедрото на равнобедрен триъгълник е 12 см., а височината към основата е 8 см. Да се намери радиуса на описаната около него окръжност.
Изглежда решението и на предишната задача, и на тази може да се направи още по-бързо със синусова теорема.
Навярно сте дотук с учебния материал? От условието непосредствено [tex]sin \alpha =\frac{8}{12 }[/tex] .
Прилагаме синусова теорема и получаваме [tex]R=\frac{a}{2sin\alpha } =9[/tex].