2 задачи по стереометрия

[deni_zlatinova]

Това са задачите, с които срещам затруднения. Ще се радвам, ако някой успее да ми помогне.
1) Ъгълът между равнината на квадрата ABCD и равнина π е равен на α, а ъгълът между страната AB и същата равнина е равен на β. Намерете синуса на ъгъл ϕ между страната AB и равнината π.

Отговор: sin⁡〖φ 〗= √(sin⁡〖(α+β) sin⁡(α-β) 〗 )
( Не знам до колко се разбира отговора, защото го копирах от word - документ. Синус [tex]\varphi[/tex] е равен на корен от синус α + синус β умножено по синус α минус синус β )

2)Пет от ръбовете на триъгълна пирамида имат дължини равни на (2√3)/3. При каква дължина на шестия ръб произведението r.R е най-голямо, където r е радиусът на вписаната в пирамидата сфера, а R- радиусът на описаната около пирамидата сфера?

Отговор: (2√6)/3

[monika_at]

Rr.png (21.55 KiB) Прегледано 294 пъти

2 зад) Няма да работя с контретното значение на петте ръба, защото писането им на LaTeX ми е досадно (всеки път да пиша корени). Затова ще ги означа с а. Нека шестия ръб [tex]BC=2x; DH=h; AM=d[/tex]
След като околните стени са равни => върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната около основата окръжност и ако построим диаметралната точка Р на точка D=>DP е диаметър на сферата, а
[tex]\angle DAP=90^\circ -[/tex]-този ъгъл е вписан в голяма окръжност на сферата и раменете му минават през краищата на диаметър. Тогава ползваме метрична зависимост за [tex]\Delta PAD=>a^2=h. 2R=>R=\frac{a^2}{ 2h}[/tex](1)
За радиуса на вписаната сфера ще ползваме известната формула: [tex]r=\frac{3V}{S_1 }[/tex]

[tex]V=\frac{1}{ 3} S_{ABC}h=\frac{1}{ 3} dx[/tex]. Означаваме [tex]S_{ABC}=S_{BCD}=S[/tex]

[tex]S_1=2S_{ABC}+2S_{ABD}[/tex]- първият триъгълник е равнобедрен, вторият- равностранен=>

[tex]S_1=2S+\frac{a^2\sqrt{3} }{ 2}[/tex]=>[tex]r=\frac{2a^2dx}{4dx+a^2\sqrt{3} }[/tex], )(2)

[tex]\Delta AMB=<d^2=a^2-x^2[/tex](3). От (1), (2), (3), замествайки в произведението Rr, получаваме функция на х.

[tex]f(x)=\frac{2a^2x\sqrt{a^2-x^2} }{ 4x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\sqrt{3} }, x\in (0; a)[/tex]

Намираме първата производна и в разглеждания интервал получаваме, че ф-та има единствен екстремум, който се достига за [tex]x=\frac{a}{\sqrt{2} } =>[/tex]при [tex]BC=2x=a\sqrt{2}[/tex] ще имаме максимално произведение.

В нашия случай [tex]BC=\frac{2\sqrt{3} }{3 } .\sqrt{2}= \frac{2\sqrt{6} }{ 3}[/tex]

[deni_zlatinova]

Благодаря многоооо !!

Сега имам 1 задача по-малко

[monika_at]

Благодаря многоооо !!

Сега имам 1 задача по-малко

Сега имаш същия брой задачи. Ще имаш една по-малко, ако я осмислиш и разпишеш самостоятелно Успех.

[deni_zlatinova]

Така е

Сега подробно ще си я разгледам. Благодаря много !!

Надявам се и другата някой да успее да я реши