Помощ за задача с вписана пирамида от изпит

[Blackshogun]

В сфера с радиус R е вписана пирамида с връх M и основа правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза AB и ъгъл ABC = B . Околният ръб CM е перпендикулярно на равнината на основата, а околната стена ABM сключва с основата на пирамидата ъгъл 60градуса
А) да се намери обема на пирамидата
В) да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнина ABN, ако точка N е среда на ръба CM

Съвсем скоро ми е изпита и ще съм много благодарен ако ми помогнете!

[Blackshogun]

Толкова ли е трудна... Ако никой тук не може да я реши значи нямам шанс

[math10.com]

zad8.png (51.84 KiB) Прегледано 192 пъти

[tex]CD=x \Right MD=2x;CM=x\sqrt{3} ; BC=\frac{x}{sin \beta} ;AC=\frac{x}{cos \beta}[/tex]
[tex]R=\frac{1}{2}\sqrt{AC^2+BC^2+CM^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2}{cos^2 \beta}+\frac{x^2}{sin^2 \beta}+3x^2}=\frac{x}{2.sin \beta.cos \beta}\sqrt{cos^2 \beta+sin^2 \beta+3sin^2 \beta.cos^2 \beta}[/tex]
[tex]\Right x=\frac{R.sin 2\beta}{\sqrt{1+3sin^2 \beta.cos^2 \beta}}=\frac{R.sin 2\beta}{\sqrt{1+\frac{3}{4}sin^2 2\beta}}=\frac{2Rsin 2\beta.\sqrt{4+3sin^2 2\beta}}{4+3sin^2 2\beta}[/tex]

a)[tex]V=\frac{1}{3}.S_{ABC}.CM=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{x}{cos \beta}.\frac{x}{sin \beta}.x\sqrt{3}=\frac{x^3\sqrt{3}}{3sin 2\beta}=\frac{8\sqrt{3}R^3.sin^3 2\beta.(4+3sin^2 2\beta)\sqrt{4+3sin^2 2\beta}}{3sin 2\beta(4+3sin^2 2\beta)^3}=\frac{8\sqrt{3}R^3.sin^2 2\beta.\sqrt{4+3sin^2 2\beta}}{3(4+3sin^2 2\beta)^2}[/tex]

b) [tex]CN=\frac{1}{2}CM=\frac{x\sqrt{3}}{2} ; DN=\sqrt{CN^2+CD^2}=\sqrt{\frac{3x^2}{4}+x^2}=\frac{x\sqrt{7}}{2} ;AB=\frac{x}{sin \beta.cos \beta}=\frac{2x}{sin 2\beta}[/tex]
[tex]S_{ABN}=\frac{AB.DN}{2}=\frac{x\sqrt{7}}{2}.\frac{2x}{sin 2\beta} .\frac{1}{2}=\frac{x^2\sqrt{7}}{2sin 2\beta}=\frac{\frac{4R^2sin^2 2\beta}{4+3sin^2 2\beta}.\sqrt{7}}{2sin 2\beta}=\frac{2\sqrt{7}R^2sin 2\beta}{4+3sin^2 2\beta}[/tex]