Задача от предварителния КС за ТУ от 26.04.2014

[kandidats]

Моля за помощ за следната задача:
30. Основата на пирамида е квадрат. Двустенните ъгли, образувани от
околните стени и основата се отнасят както 1: 2: 4: 2. Да се намерят
големините на тези двустенни ъгли.

[kmitov]

Спуска се височината на пирамидата, от петата на височината, в основата, се спускат перпендикуляри към всички основни ръбове. Петите на тези перпендикуляри се свързват с върха на пирамидата. Получават се два триъгълника:

1) Равнобедрен триъгълник с основа а, височина h, и ъгли при основата 2α;

2) Триъгълник с основа а, височина h, и ъгли при основата α и 4α.


От тези триъгълници се пресмята че а=2h cotg 2α (от равнобедрения) и а=h cotg α + h cotg 4α (от неравнобедрения).

Получава се уравнението 2 cotg 2α = cotg α + cotg 4α. Като се реши се намира α=30°. От там и останалите ъгли.

[kandidats]

Благодаря!

[edmon]

Бихте ли ми припомнили как се решава именно това уравнение с котангенсите и само заради удобство при пресмятането ли го записвате с котангенси, би ли било лесно да се пресметне ако е записано с тангенси?

[Knowledge Greedy]

Предполагам, г-н kmitov е представил уравнението по най-краткия начин, а именно с котангенси. Човек може леко да избяга от формулите с котангенси не през тангенси, а с помощта на синуси и косинуси.
[tex]2\frac{cos2\alpha}{sin2\alpha}=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}+\frac{cos4\alpha}{sin4\alpha}[/tex]

Групираме така
[tex]\frac{cos2\alpha}{sin2\alpha}-\frac{cos4\alpha}{sin4\alpha}=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}-\frac{cos2\alpha}{sin2\alpha}[/tex]

Привеждаме под общ знаменател поотделно в лявата и дясната страна

[tex]\frac{sin4\alpha cos2\alpha-cos4\alpha sin2\alpha}{sin2\alpha \,\ sin4\alpha}=\frac{sin2\alpha cos\alpha-cos2\alpha sin\alpha}{sin\alpha \,\ sin2\alpha}[/tex]

[tex]\frac{sin2\alpha }{sin2\alpha \,\ sin4\alpha}=\frac{sin\alpha}{sin\alpha \,\ sin2\alpha}[/tex]

След съкращаване [tex]\frac{1 }{ sin4\alpha}=\frac{1}{ sin2\alpha}[/tex]
и изравняваме на знаменателите, получаваме уравнението [tex]sin4\alpha=sin2\alpha[/tex],
при решаването на което внимаваме [tex]x\ne m\pi[/tex]; [tex]x\ne\frac{ m\pi}{2}[/tex] и [tex]x\ne\frac{ m\pi}{4}[/tex] - дефиниционното множество (вкл. евентуалните ограничения, следващи от естеството на геометричното съдържание).