Уравнения от по-висока степен

[Zarrie]

Здравейте, след полагане в една кандидат-студентска задача получих уравнението
[tex]2t^3-3t^2+t+3=0[/tex]
Пробвах да получа корени за него със схема на Хорнер, но безуспешно. Въпросът ми се решават уравнения от по-висока степен, чиито корени очевидно не са естествени числа?

[math10.com]

За решаване на уравнения от 3 -та степен се използва формула на Кардано.Можеш да прочетеш тук:
http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0% ... 0%BD%D0%BE

Много се съмнявам ,че се е получило такова уравнение на кандидат-студентска задача.Най-вероятно има допусната техническа грешка в сметки при достигането на горепосоченото уравнение.Друг съвет е да се потърси друг метод за решаването на задачата,който да спести подобни сметки.Напишете условието на задачата и ще измислим нещо

[Zarrie]

Извинявам се за забавянето в отговора. Ето я и задачата - [tex]cos x - cos 3x = 6sin^2 x[/tex]

[monika_at]

В ляво изваждаме косинусите.

[tex]2sin2xsinx-6sin^2x=0[/tex] Прилагаме формула за синус на удвоен ъгъл=>

[tex]4sin^2x.cosx-6sin^2x=0[/tex]

[tex]sin^2x(4cosx-6)=0[/tex]

[tex]sin^2x=0=>sinx=0=>x=k\pi[/tex]

[tex]4cosx-6=0=>cosx=\frac{3}{2 } >1=>[/tex] уравнението няма решение.

[Zarrie]

Не разбирам какво се случва в първата стъпка, или по-точно там където изваждате косинусите.

[monika_at]

Ползваме формулата [tex]cosx-cosy=2sin{\frac{x+y}{2 }}sin{\frac{y-x}{2 }}[/tex]

[Zarrie]

Много благодаря! Разбрах метода. Хипотетично, задачата би ли могла да бъде решена по начина, по който бях тръгнал аз?

[monika_at]

Много благодаря! Разбрах метода. Хипотетично, задачата би ли могла да бъде решена по начина, по който бях тръгнал аз?

Има, но си объркал уравнението.
Ако развиваш косинус от утроен ъгъл и после положиш [tex]cos\alpha =t\in [-1; 1]=>2t^3-2t^2-3t+3=0[/tex]

Което след разлагане се свежда до:
[tex](t-1)(t+1)(2t-3)=0=>cos\alpha =\pm 1=>\alpha =k\pi[/tex]

[stflyfisher]

За решаване на уравнения от 3 -та степен се използва формула на Кардано.Можеш да прочетеш тук:
http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0% ... 0%BD%D0%BE

По-точно е да се казва, че формулата за уравнения от 3 степен е открита от Никола Тарталя, а Кардано я популяризирал (откраднал).

[esratolga001]

1. (x2+x+1).(x2+x+2)=12
2. (1/2)2-9.(x+1/x)+14= 0
3. (x-3+1/x).(x-5+1/x)=3
4. (x2-5x)2+10(x2-5x)+24=0

[Евва]

4 зад. [tex](x^{2}-5х)^{2}[/tex]+10([tex]x^{2}[/tex]-5х)+24=0

Правилно ли съм изписала уравнението ?
Ако е правилно,то се решава чрез полагане.
у=[tex]x^{2}[/tex]-5х и крайният отговор е 1;2;3;4

[S.B.]

1. (x2+x+1).(x2+x+2)=12
2. (1/2)2-9.(x+1/x)+14= 0
3. (x-3+1/x).(x-5+1/x)=3
4. (x2-5x)2+10(x2-5x)+24=0

Зад.3:
[tex](x - 3 + \frac{1}{x})(x - 5 + \frac{1}{x}) = 3[/tex]
Д.М. $x \cancel{ = } 0$
Полагаш $x + \frac{1}{x} = t$ и получаваш : $(t -3)(t - 5) = 3 \Leftrightarrow t^{2} - 8t + 12 = 0 ,t_{1 } = 6 , t_{2 } = 2$
Връщаш субституцията:$x + \frac{1}{x} = 6 ; x + \frac{1}{x} = 2$
$x^{2} - 6x + 1 = 0 ,x_{1,2 } = 3 \pm \sqrt{2}\in$ Д.М. и $x^{2} - 2x + 1 = 0 , x_{3,4 } = 1\in$ Д.М.
____________________
Не разбирам условието на зад.2

[S.B.]

Зад.1
[tex](x^{2} + x + 1)(x^{2} + x + 2) = 12[/tex]
Полагам $x^{2} + x + 1 = t$ и получавам :$t(t + 1) = 12 \Leftrightarrow t^{2} + t - 12 = 0 ,D = 49 ,t_{1 } = 3 , t_{2 } = - 4$
Връщам субституцията : $ x^{2} + x + 1 = 3 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0,D = 9 , x_{1 } = 1 , x_{2 } = -2$
и $x^{2} + x + 1 = - 4 \Leftrightarrow x^{2} + x + 5 = 0 ,D = - 19 < 0 $
Следователно има само 2 корена :$x_{1 } = 1 ,x_{2 } = -2$