СУ(2002)-Геометрия

[gab4ety_22]

Даден е трапецът ABCD (AB || CD) .
а) Ако в ABCD е вписана окръжност с център O и ОА = 2√2, OB = 2√5 и OC = √5 , то да се намерят дължините на страните на трапеца .
б) Ако BC = 5, AB = 6, AD = 4, CD = 3 ,да се намери лицето на четириъгълника EFGH, където E, F, G и H са центровете на окръжностите, описани съответно около триъгълниците ABC, BCD, CDA и DAB.


Отг. а) BC = 5, AB = 6, AD = 4, CD = 3;
б) S = 81/32

Интересува ме б) , ако някой може да ми помогне ще съм много благодарна .

[monika_at]

su.png (37.49 KiB) Прегледано 287 пъти

Ако пренесеш успоредно едното бедро през връх на горната основа, ще получиш триъгълник със страни 3,4,5, което значи, че [tex]\angle DAB=90^\circ[/tex]=>трапецът е правоъгълен.
б) G и H са среди на диагоналите, защото са центрове на описани около правоъгълни триъгълници окръжности.
Тогава [tex]GH=\frac{AB-CD}{ 2}=1,5[/tex]- ОЗ от 8 клас.
[tex]HE\equiv S_{AB}=>HE\bot GH[/tex]; [tex]GF\equiv S_{CD}=>GF\bot GH (GH||AB; CD))[/tex]=>[tex]GHEF[/tex]-правоъгълен трапец.
[tex]FE\equiv S_{CB}; \angle HCB=\alpha =>\angle CET=90^\circ -\alpha =>\angle HEF=\angle DCB=90^\circ +\alpha[/tex]

Това означава, че фигурите [tex]ABCD, GFEH[/tex] са правоъгълни трапеци, които имат равни тъпи ъгли=> са подобни и лицата им се отнасят както коефициента к на квадрат.
[tex]S_{ABCD}=18; k=\frac{GH}{AD } =\frac{3}{8 } =>k^2=\frac{9}{ 64} =>S_{GFEH}=\frac{9}{ 64}.18=\frac{81}{ 32}[/tex]