Взаимно разположение на корените на две квадратни уравнения

[monika_at]

Ето една симпатична задача за кандидат-студентите.

Дадени са уравненията

[tex]f(x)=x^2-2kx+4=0[/tex] и [tex]g(y)=y^2-2(k-1)y+4=0[/tex].

Ако [tex]x_1[/tex]и [tex]x_2[/tex]са корените на [tex]f(x)=0[/tex], a [tex]y_1[/tex]и [tex]y_2[/tex] на [tex]g(y)=0[/tex],за

кои стойности на [tex]k[/tex]е изпълнено неравенството[tex]x_1<y_1<y_2<x_2[/tex]?

[pal702004]

1. Намираме стойностите на параметъра, за които и двете уравнения имат реални корени:
[tex]k \in (-\infty;-2]\cup [3;+\infty)[/tex]
2. За да са корените на g(y) между корените на f(x) е необходимо
[tex]|x_2-x_1|>|y_2-y_1|[/tex]
[tex](x_2-x_1)^2>(y_2-y_1)^2[/tex]
[tex](x_2+x_1)^2-4x_1x_2>(y_2+y_1)^2-4y_1y_2,\quad x_1x_2=y_1y_2 \Rightarrow[/tex]
[tex]k^2>(k-1)^2, \quad k>\frac 1 2[/tex]
Сечение с областта от т.1, [tex]k\ge 3[/tex]. При тези значения на параметъра всички корени са положителни. За положителни числа е валидно: Ако [tex]ab=cd[/tex] и [tex]a<c[/tex], то [tex]b>d[/tex], тоест, корените на едното уравнение винаги ще са между корените на другото.
Отг:[tex]k\ge 3[/tex]

[monika_at]

С малка забележка, относно строгостта на отговора ти. Трябва да е строго неравенство.

[pal702004]

Да. Аз решавах корените на едното да са "между" корените на другото, a в условието е записано все пак[tex]y_1<y_2[/tex]. Ок.

[Knowledge Greedy]

Ето една симпатична задача за кандидат-студентите. ...

pal702004, не трябваше ли да оставиш малко време на кандидат-студентите?