R=?

[monika_at]

Преди малко си измислих една задача.

Страните на триъгълник[tex]ABC[/tex] са последователни цели числа. Нека [tex]I[/tex] е центърът на вписаната в триъгълника окръжност, а [tex]K[/tex] е пресечната точка на правата [tex]CI[/tex] с описаната около триъгълника окръжност. Ако [tex]CI.IK=5[/tex],намерете радиуса на описаната окръжност.

[loving_math]

Хайде сега да видим дали докарах правилното решение.При дадените означения има зависимост, която май се доказваше с подобие, но ми е останала в главата като равенство.По-късно ще се пробвам да я докажа.[tex]CI.IK=2Rr[/tex].
[tex]=>5=2Rr<=> R.r=\frac{5}{2 }[/tex]
Триъгълникът по условие е със страни, които са 3 последователни цели числа.
[tex]=>AB=x, BC=x+1, AC=x+2[/tex]
[tex]S=p.r=\frac{3(x+1).r}{2 }[/tex], [tex]S=\frac{x(x+1)(x+2)}{4R }[/tex]
[tex]\frac{3r}{ 2} = \frac{x^2+2x}{ 4R} <=> 6rR=x^2+2x <=> x^2+2x-6.\frac{5}{2 }=0[/tex]
[tex]x^2+2x-15=0 ; X>0 => x=3 cm[/tex]
=>Страните на триъгълника са съответно 3,4,5 см.
[tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{6.3.2.1} =6 cm^2[/tex]
[tex]6=\frac{abc}{4R } <=> 24R=60=> R=2,5 cm.[/tex]

[pal702004]

Добре известният правоъгълен триъгълник. Всъщност, условието "последователни" е излишно. Уравнението [tex]abc=5(a+b+c)[/tex] има и други решения в естествени числа (краен брой, могат да се намерят), но те не могат да бъдат страни на триъгълник (не удовлетворяват неравенството на триъгълника). И тъй като неравенството силно ограничава интервала, в който могат да се намират решенията, самото решение е простичко, а и задачата става по-интересна.

[monika_at]

Вчера се заиграх малко с радиусите на триъгълник с последователни дължини на страните. За такъв триъгълник е в сила:

[tex]R=2r+\frac{1}{2r }[/tex]

[pal702004]

Вчера се заиграх малко с радиусите на триъгълник с последователни дължини на страните. За такъв триъгълник е в сила:[tex]R=2r+\frac{1}{2r }[/tex]

Вярно е. Обобщено, ако страните на триъгълник образуват аритметична прогресия с разлика d, то [tex]R=2r+\frac{d^2}{2r}[/tex]

[inveidar]

zad.png (98.97 KiB) Прегледано 531 пъти

[monika_at]

CiIk.png (39.22 KiB) Прегледано 529 пъти

Може да се докаже и само с подобие.