Определяне вида на ъгъл

[monika_at]

От върха [tex]C[/tex] на [tex]\Delta ABC[/tex] е прекарана височина [tex]h>1[/tex], която определя върху страната [tex]AB[/tex] отсечки [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]. Може ли по големината на сумата

[tex]\frac{1}{lg_ah } +\frac{1}{lg_bh }[/tex]

да се установи дали ъгъл [tex]C[/tex]е остър, прав или тъп?

[grav]

Това логаритми ли са? И какво означава h>1?

[monika_at]

Логаритми са, просто съм пропуснала о-то.
Височината е >1. Така е дадено условието в сборника, от когото преписах задачата. Но като се замисля, това условие е абсолютно излишно

[monika_at]

Логаритми са, просто съм пропуснала о-то.
Височината е >1. Така е дадено условието в сборника, от когото преписах задачата. Но като се замисля, това условие е абсолютно излишно

Сега като се замисля, ако няма налице това условие, решението не е еднозначно.
Ако го има, решението е единствено.

[grav]

Но какъв точно е смисъла на това условие? Дължината на височината е по-голяма от едно! Едно какво(?), трябва да се предполага, че е дадена единична отсечка ли? Като изберем други мерни единици винаги можем да смятаме, че е изпълнено условието.

[monika_at]

Имаме работа с логаритми. Така, че ако височината>1, решението на задачата ще е еднозначно.

[Anubis]

Сумата е всъщност [tex]\frac{1}{\log_{a}h}+\frac{1}{\log_{b}h} = \log_{h}(ab) = S[/tex].

Пресмятаме [tex]\cos \gamma = \cos \left ( \varphi_{1} + \varphi_{2} \right ) = \frac{1}{\sqrt{a^2+h^2} \sqrt{b^2+h^2}} \left ( h^2-ab \right )[/tex].

[tex]S = \log_{h}(ab) = \log_{h} \left ( \sqrt{ab} \right)^2 = 2 \log_{h} \sqrt{ab} \Rightarrow \log_{h} \sqrt{ab} = \frac{S}{2}[/tex]

1. [tex]\cos \gamma > 0 \Rightarrow \gamma \in \left ( 0; \, \frac{\p}{2} \right ) \Rightarrow h^2-ab>0 \Rightarrow h>\sqrt{ab} \Rightarrow \frac{S}{2}<1 \Rightarrow S<2[/tex]

2. [tex]\cos \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = \frac{\pi}{2} \Rightarrow h^2-ab=0 \Rightarrow h=\sqrt{ab} \Rightarrow \frac{S}{2} = 1 \Rightarrow S=2[/tex]

3. [tex]\cos \gamma < 0 \Rightarrow \gamma \in \left ( \frac{\pi}{2}; \, \pi \right ) \Rightarrow h^2-ab<0 \Rightarrow h<\sqrt{ab} \Rightarrow \frac{S}{2}>1 \Rightarrow S>2[/tex]