Лице на триъгълник

[monika_at]

[tex]AA_1; BB_1; CC_1[/tex] за височини в остроъгълния [tex]ABC[/tex] и [tex]A_1B_1=m; B_1C_1=n; A_1C_1=p[/tex].

Ако радиусът на описаната около [tex]ABC[/tex] е равен на [tex]R[/tex], изразете лицето му чрез [tex]m; n; p; R[/tex]

[Anubis]

[tex]\frac{m+n+p}{2}R[/tex]

По-късно ще напиша решението.

[monika_at]

Да, така е, но моля те, не го пиши. Нека поне един кандидат-студент го направи

Ти отдавна си минал този етап, Йовков

[amsara]

Май я реших, ама толкова нерационално и дълго , че ще ми е интересно да видя по-кратко и елегантно решение. Но ще напиша и моето преди това.
Нека О е центърът на описаната около АВС окръжност.
[tex]=>AO=BO=CO=R[/tex]
Нека [tex]\angle A=\alpha; \angle B=\beta ; \angle C=\gamma[/tex]
[tex]\angle BAC[/tex] e вписан =>[tex]\angle BAC=\frac{1}{ 2}.\angle BOC => \angle BOC=2\alpha[/tex]
Аналогично намираме [tex]\angle AOB=2\gamma; \angle AOC=2\beta[/tex]
Използваме синусова теорема:
[tex]\frac{AB}{ sin\gamma }=\frac{AC}{sin\beta }=\frac{BC}{sin\alpha }=2R[/tex]
[tex]=>BC=2Rsin\alpha <=> sin\alpha=\frac{BC}{2R }[/tex]
[tex]=>AC=2Rsin\beta <=> sin\beta=\frac{AC}{2R }[/tex]
[tex]=>AB=2Rsin\gamma <=> sin\gamma=\frac{AB}{2R }[/tex]
[tex]S_{ABC}=S_{ABO}+S_{BCO}+S_{ACO}=\frac{R^2.sin2\alpha }{2 }+\frac{R^2.sin2\beta }{ 2}+\frac{R^2.sin2\gamma }{ 2}[/tex]
Рационализираме с формулата за удвоени ъгли.
[tex]S_{ABC}=R^2(\frac{2sin\alpha.cos\alpha }{2 }+\frac{2sin\beta.cos\beta }{2 }+\frac{2sin\gamma.cos\gamma }{2 })[/tex]
[tex]S_{ABC}=R^2(sin\alpha.cos\alpha +sin\beta.cos\beta + sin\gamma .cos\gamma)[/tex]
Заместваме с изразените по-горе синуси.
[tex]S_{ABC}=R^2(\frac{BCcos\alpha }{ 2R}+\frac{ACcos\alpha }{2R }+\frac{ABcos\gamma }{2R }) =[/tex]
[tex]=\frac{R^2}{2R }.(BCcos\alpha + ACcos\beta +ABcos\gamma )[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{R}{ 2}.(BCcos\alpha + ACcos\beta +ABcos\gamma )[/tex]
[tex]\Delta AA_{1}C=>\frac{A_{1}C}{ AC} =cos\gamma[/tex]
[tex]\Delta BB_{1}C=>\frac{B_{1}C}{BC} =cos\gamma[/tex]
От горните две отношения +общия ъгъл γ стигаме по 2 признак до [tex]\Delta A_{1}B_{1}C \approx \Delta ABC[/tex]
[tex]=>A_{1}B_{1}=AB.cos\gamma[/tex]
Аналогично стигаме до:[tex]A_{1}C_{1}=AC.cos\beta; B_{1}C_{1}=BC.cos\alpha[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{R}{ 2} (A_{1}B_{1}+B_{1}C_{1}+A_{1}C_{1})=\frac{(m+n+p).R}{2 }[/tex]

[monika_at]

Да, дълго , но вярно, Сари:)

Абсолютно вярно, което предполага доста знания:)

Погледни втория пост на r2d2 и следствието след него:)

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=4283

[amsara]

Мерси много, знаех си, че има много по-рационален начин.