ВС>СА>АВ

[monika_at]

Страните на [tex]\Delta ABC[/tex] образуват аритметична прогресия, при което [tex]BC>CA>AB[/tex]. Да се докаже, че:

а) ъглополовящата на ъгъл В е перпендикулярна на правата, минаваща през центровете на вписаната и описната окръжности.

б) върхът В, средите на страните АВ, ВС и центровете на вписаната и описаната окръжности лежат на една окръжност.

в) правата, минаваща през медицентъра и центъра на вписаната окръжност, е успоредна на АС.

г) ако триъгълникът е остроъгълен (тъпоъгълен), то сумата (разликата) на разстоянията от центъра на описаната окръжност до страните ВС и АВ е равна на диаметъра на вписаната окръжност.

[amsara]

Леле. Първо като ги прочетох тези задачи си казах, че няма никакъв шанс да реша която и да е от тях. Ама после почна да ме човърка от вътре да се пробвам. И успях частично да се справя, ама не в хронологичен ред.

Почвам с подточка в, че там ми се стори най-лесно.
[tex]AB=c; BC=a; AC=b[/tex]
Образуват аритметична прогресия в ред [tex]c,b,a => 2b=a+c[/tex]
J- център на вписаната окръжност
G- медицентър
[tex]BN-[/tex]медиана
[tex]=>\frac{BG}{ GN}=\frac{2}{ 1}[/tex]
J-пресечна точка на ъглополовящите
[tex]BB_{1}-[/tex]ъглополовящa [tex]=>\frac{AB_{1}}{ CB_{1}} =\frac{AB}{ BC}[/tex]
[tex]\frac{AB_{1}}{ b-AB_{1}}=\frac{c}{ a} <=> aAB_{1}=bc-cAB_{1}<=> (a+c).AB_{1}=bc[/tex]
[tex]AB_{1}=\frac{bc}{ a+c}=\frac{bc}{2b }=\frac{c}{2 }[/tex]
[tex]CB_{1}=b-\frac{c}{ 2} =\frac{2b-c}{ 2}=\frac{a+c-c}{2}=\frac{a}{2 }[/tex]
Пак от свойство на ъглополовящите[tex]=>\frac{B_{1}J}{BJ}=\frac{B_{1}C}{BC } =\frac{a}{ 2} :a=\frac{}{ } \frac{1}{ 2}[/tex]
=>[tex]\frac{B_{1}J}{BJ}=\frac{GN}{BG }=1:2[/tex]
По обратна теорема на Талес [tex]=>JG II AC[/tex]
Само 1 от 4 подусловия. Но ще пробвам и другите.

[monika_at]

Добре, много добре, отлично:)
Сега, ако искаш, използвай този факт (ако ти се наложи)

[amsara]

Опс, лоша работа. Щом казвате да ползвам доказаното, значи подусловията са обвързани. Незнайно защо реших, че всяко може да се реши само за себе си.

[monika_at]

Разбира се, че са обвързани, Сара. От условието=> всички подусловия са еквивалентни.

[amsara]

Разбира се, че са обвързани, Сара. От условието=> всички подусловия са еквивалентни.

Нямах предвид подобна обвързаност. Ясно е, че така са свързани. Имах предвид друго. Например, че без доказаното в А няма да мога да се оправя с Б. Ама май не е задължително така. В го реших първо, без да ползвам неща от А и Б. И май сега имам проблясък какво да направя с подточка Б.

[monika_at]

Не си длъжна да доказваш подусловията в порядъка, в който са дадени.

[amsara]

Имам нужда от малко помощ за подточка Б.
[tex]C_{1} -[/tex]среда на [tex]AB => AC_{1}=BC_{1}=\frac{c}{2}[/tex]
[tex]A_{1} -[/tex]среда на [tex]BC => BA_{1}=CA_{1}=\frac{a}{2}[/tex]
[tex]JM=JN=JP=r(JM \bot AB; JN \bot BC[/tex]
От допирателни[tex]MB=NB=x; NC=PC=y; AP=AM=z \Rightarrow 2x+2y+2z=a+b+c[/tex]
[tex]x+y+z=\frac{a+b+c}{ 2}=p \Rightarrow x=p-(y+z)=p- AC=p-b=\frac{a+b+c-2b}{ 2} =\frac{a+c-b}{ 2}=\frac{2b-b}{ 2}[/tex]
[tex]BM=BN=x=\frac{b}{ 2}[/tex]
[tex]MC_{1}=BC_{1}-MB=\frac{c-b}{ 2}[/tex]
[tex]NA_{1}=NB-BA_{1}=\frac{b-a}{2 }[/tex]
Но от аритметичната прогресия[tex]=>MC_{1}=NA_{1}[/tex]-полуразлика на аритметичната прогресия
[tex]\Delta C_{1}MJ \cong \Delta A_{1}NJ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle C_{1}JM=\angle A_{1}JN=\alpha[/tex]
[tex]=>\angle JC_{1}M=90-\alpha; \angle JA_{1}B=90+\alpha[/tex]
[tex]\angle JC_{1}M+\angle JA_{1}B=90-\alpha+90+\alpha=180[/tex]°
Около [tex]JC_{1}BA_{1}[/tex] може да се опише окръжност.
[tex]=>C_{1}; B; A_{1};J[/tex]лежат на една окръжност. Само дето не се сещам как да добавя и О към нея.

PS:Сетих се. В подточка А се доказва (когато евентуално го докажа), че [tex]BJ \bot OJ[/tex]
Ами тогава [tex]OB[/tex] е диаметър на тази окръжност и O също лежи на нея.

[amsara]

Ура . Доказах си и подточка А и така ползването й в доказателството на подусловие Б е вече оправдано.

[Zarrie]

Имам едно предложение за а), надявам се да не е абсурдно...
Нека [tex]Op -[/tex] център на оп. около [tex]\Delta ABC[/tex] окр. и съответно [tex]Ov -[/tex]център на вп. окр.
Трябва да докажем, че [tex]BOv \bot OvOp[/tex]

ще ми се,ама надали.png (38.18 KiB) Прегледано 578 пъти

1)Построяваме си описаната около [tex]\Delta ABC[/tex] окр.
2) Постр. [tex]OvK \bot AB[/tex] и [tex]OvF \bot BC[/tex]
3)От триъгълниците [tex]\Delta OvPK[/tex] и [tex]\Delta OvFM \Rightarrow \angle K = \angle F = 90^\circ[/tex]
4)[tex]BL -[/tex] ъглополовяща и [tex]OvK \bot AB , OvF \bot BC \Rightarrow OvK = OvF[/tex](или защото са радиуси на вписаната окр.)
5)[tex]\angle POvK = <MOvF = \frac{1}{2} (\widehat {PK} + \widehat {MF})[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta PKOv \Delta MFOv \Rightarrow \angle P = \angle M \Rightarrow \Delta PBM -[/tex] равнобедрен
и [tex]BOv -[/tex]съвпада с медианата и височината [tex]\Rightarrow BOv \bot AM , AM z OvOp \Rightarrow BOv \bot OvOp[/tex]
Приема ли се ?

[Zarrie]

Мисля за още един начин -

опа 2.png (45.47 KiB) Прегледано 577 пъти

[tex]ZOp = BOp = R \Rightarrow \Delta ZBOp[/tex] е равнобедрен
[tex]ZB[/tex]е хорда в окр. к
[tex]\Rightarrow Op z d=2R \Rightarrow OpOv \bot ZB[/tex] където
[tex]BL[/tex] ъглополовяща [tex]z BZ[/tex]
А защо AZ е в червено също като радиусите, отговор нямам

[amsara]

Ето го и моя вариант за доказателство на подусловие А.
[tex]c;a;b =>2b=a+c[/tex]
[tex]BB_{1}[/tex]-ъглополовяща[tex]\frac{AB_{1}}{CB_{1} }=\frac{AB}{ BC}[/tex]
[tex]\frac{AB_{1}}{b-AB_{1} }=\frac{c}{ a} \Leftrightarrow AB_{1}(a+c)=bc <=> AB_{1}=bc:(a+c)=\frac{bc}{2b }=\frac{c}{2 }[/tex]
[tex]B_{1}C=b-\frac{c}{2 }=\frac{2b-c}{ 2}=\frac{a+c-c}{2 }=\frac{a}{ 2}[/tex]
Изразяваме ъглополовящата чрез страните на триъгълника.
[tex]BB_{1}^2=ac-\frac{ac}{4 }=\frac{3ac}{4 } =>BB_{1}=\frac{\sqrt{3ac} }{ 2}[/tex]
[tex]CJ-[/tex]ъглополовяща в [tex]\Delta CBB_{1}[/tex]
[tex]=>\frac{B_{1}C}{ BC}=\frac{B_{1}J}{ BJ} <=> \frac{a}{ 2} : a= \frac{B_{1}J}{ BJ}=\frac{1}{ 2}[/tex]
[tex]2B_{1}J=BJ; B_{1}J=x => BJ=2x; BB_{1}=3x[/tex]
[tex]=> B_{1}J=\frac{BB_{1}}{ 3}; BJ=\frac{2BB_{1}}{ 3}[/tex]
Продължаваме[tex]BB_{1}[/tex] до пресичането й с описаната окръжност в точка M. Според свойство на хордите:
[tex]B_{1}B.B_{1}M=AB_{1}.B_{1}C[/tex]
[tex]=> \frac{\sqrt{3ac} }{2 }.B_{1}M=\frac{ac}{4 } <=> B_{1}M=\frac{\sqrt{3ac} }{ 6}[/tex]
[tex]BB_{1}=\frac{\sqrt{3ac} }{2 }=>MB_{1}=\frac{BB_{1}}{3 }[/tex]
[tex]=> MB_{1}=B_{1}J=\frac{BB_{1}}{ 3}; MJ=BJ=\frac{2BB_{1}}{ 3}[/tex]
[tex]\Delta MOB[/tex] e равнобедрен и [tex]OJ[/tex]е медиана, височина и ъглополовяща.
[tex]=> OJ \bot BB_{1}[/tex]

Зари, само отгоре погледнах решението ти и никъде не видях да е ползвано условието, че странитe образуват аритметична прогресия. По-късно ще го разгледам детайлно, за да си обясня логиката ти

[Zarrie]

Не съм го използвал, стори ми се по-практично да използвам описаната около триъгълника окръжност. Твоето решение ми е доста симпатично ) браво!

[amsara]

В една задача ( с читаво условие) никога няма излишна информация , която ей така да пропуснеш и да не използваш никъде в решението си. А и цялата задача е преди всичко за зависимости. Ако страните на триъгълника образуват аритметична прогресия, то следва това или онова. Пропускайки даденото, ти на практика не разглеждаш зададения триъгълник, а някакъв произволен.

[strangerforever]

Ще си позволя да не се съглася с нито една от двете.

Значи доказва по-силно твърдение от нужното, от което следва нужното. Ако нещо е вярно за произволен триъгълник, значи е вярно и за такъв със страни, образуващи аритметична прогресия. Не знам дали решението и е коректно, не съм го чел, но ако го е доказала коректно за произволен триъгълник, значи е ОК.

5)[tex]\angle POvK = <MOvF = \frac{1}{2} (\widehat {PK} + \widehat {MF})[/tex]

Това не е вярно, сори. А и дори не е коректно като запис, няма дъги PK и MF никъде. P, K, M и F не са точки от никоя окръжност на чертежа.

В една задача ( с читаво условие) никога няма излишна информация , която ей така да пропуснеш и да не използваш никъде в решението си. А и цялата задача е преди всичко за зависимости. Ако страните на триъгълника образуват аритметична прогресия, то следва това или онова. Пропускайки даденото, ти на практика не разглеждаш зададения триъгълник, а някакъв произволен.

Така е, права си, разглежда произволен триъгълник. Ако, обаче, приемем че решението и е коректно за произволен триъгълник (което не е, но for the sake of the argument), то тя е доказала твърдението за произволен триъгълник, т.е. е доказала по-силно твърдение от нужното. По-просто казано, ако докажеш твърдението за произволен триъгълник, то си го доказала за какъвто и да е. Това, което не можеш да правиш, е да си добавяш ограничения в задачата или да противоречиш с дадените, но да не ги използваш е напълно окей. Мога да ти дам и пример, ако не си съгласна с мен.

[amsara]

strangerforever,

Нямам намерение да споря, тъй като принципно виждам логиката в написаното от теб. И все пак ако задачата е решима без ползването на даденото за аритметичната прогресия, то тя се превръща в преопределена с ненужно условие. А поне аз си мисля, че в гимназиален курс, на матури и на кандидат-студентски изпити едва ли ще дадат такава задача. А ако не e преопределена, то всяко нещо, дадено в условието, ще е нужно в процеса на доказване. И щом е така, а в конкретната задача съм убедена, че е така, то неизползването на нещо, зададено по условие, ще доведе неминуемо или до грешно решение или поне до ползване на нещо недоказано и дошло от нищото. Тоест мисълта ми на кратко е, че принципно си съвсем прав, но реално едва ли ще има такава задача на някой от изпитите, очакващи ни със Зари в края на учебната година. А все пак разделът е за точно такива задачи.Преди Госпожа Симеонова да пусне тази тема, аз я помолих да даде някоя кандидат-студентска задача. В поста, в който тя даде линк към тази, задачата беше определена като такава, в която ще се доказват интересни зависимости в конкретен триъгълник ( такъв, чиито страни образуват прогресия), а не произволен. Дори само това предполага, че трябва да ползваме упоменатото.И пак казвам, принципно се съгласих с теб, но описана от теб задача ще е рядкост, още повече на масов изпит.

И само за информация - Зари е момче, става ясно от всеки написан негов пост във форума. И благодаря ти, че повдигна темата. Така се сетих, че не съм доказала подусловие Г. Намери ми занимание в ранната и мрачна сутрин.

[Zarrie]

Ще си позволя да не се съглася с нито една от двете.

Значи доказва по-силно твърдение от нужното, от което следва нужното. Ако нещо е вярно за произволен триъгълник, значи е вярно и за такъв със страни, образуващи аритметична прогресия. Не знам дали решението и е коректно, не съм го чел, но ако го е доказала коректно за произволен триъгълник, значи е ОК.

5)[tex]\angle POvK = <MOvF = \frac{1}{2} (\widehat {PK} + \widehat {MF})[/tex]

Това не е вярно, сори. А и дори не е коректно като запис, няма дъги PK и MF никъде. P, K, M и F не са точки от никоя окръжност на чертежа.

В една задача ( с читаво условие) никога няма излишна информация , която ей така да пропуснеш и да не използваш никъде в решението си. А и цялата задача е преди всичко за зависимости. Ако страните на триъгълника образуват аритметична прогресия, то следва това или онова. Пропускайки даденото, ти на практика не разглеждаш зададения триъгълник, а някакъв произволен.

Така е, права си, разглежда произволен триъгълник. Ако, обаче, приемем че решението и е коректно за произволен триъгълник (което не е, но for the sake of the argument), то тя е доказала твърдението за произволен триъгълник, т.е. е доказала по-силно твърдение от нужното. По-просто казано, ако докажеш твърдението за произволен триъгълник, то си го доказала за какъвто и да е. Това, което не можеш да правиш, е да си добавяш ограничения в задачата или да противоречиш с дадените, но да не ги използваш е напълно окей. Мога да ти дам и пример, ако не си съгласна с мен.

Позволих си волността "да няма" такива дъги, защото да не става още по-претрупан чертежа. Считал съм продълженията на правите, които са почти върху окръжността - става ясно, смятам, а ако не става - извинявам се.
И между другото Zarrie идва от Зарко, което е мъжко име И да, Сара, аз не използвах условието, защото така ми беше по-лесно, но не ти отговорих веднага, защото си бях забравил паролата Смятам, че доказвайки го за произволен триъгълник, то е вярно винаги. Права си, обаче, че се губи смисъла на задачата

[Zarrie]

Не съм съгласен, че не е вярно. Погледнете ъглите [tex]\angle POvK[/tex] и [tex]\angle MOvF[/tex] вътрешен за окръжността ъгъл, т.е. равен на полусбора от принадлежащите му дъги, които са едни и същи за ъглите, т.е. те са равни

[amsara]

опа 2.png (55.74 KiB) Прегледано 480 пъти

Зари, неправилно е. Защо да са равни тези ъгли? Равни за мен са само тези ( и съответно дъгите им), които на твоя чертеж съм маркирала със син цвят. А като нямаш равенство на тези ъгли, нямаш и еднакви триъгълници. А без тях пък не важи вече и извода ти. Което пак ни води до това, че условието за страни, чиито дължини образуват аритметична прогресия, не е излишно и без него зависимостта не може да се докаже. Мисля си, че макар и малко тегаво заради бакалските сметки, доказателството ми е вярно. Просто не се сетих за по-рационален начин.

[Zarrie]

Едва сега осъзнах с кое съм се заблудил - да, наистина не е така, или ако е така, то не е задължително винаги да е така. Признавам, че съм сбъркал