Трапец

[Zarrie]

Здравейте,
моля за малко помощ по тази задача:
В трапеца ABCD (AB || CD)
AB = 15, CD = 1, AD=BC=14
Окр. с диаметър BC пресича AD в М и N,
Да се намери MN

asd.jpg (40.63 KiB) Прегледано 301 пъти

[amsara]

Аз получих като отговор 2 см. Ей сега ще напиша как.

[amsara]

Продължаваме бедрата на трапеца до пресичането им в точка Р.
[tex]\Delta DCP \approx \Delta ABP[/tex]
[tex]DP=x; AP=x=14 => \frac{x}{ x+14} = \frac{1}{ 15} <=> 15x=x+14 <=> x=1 cm[/tex]
[tex]=> CP=DC=DP=1cm; \Delta DCP e[/tex] равностранен.
[tex]=>\angle P=60[/tex]°
[tex]\Delta ABP -[/tex] равнобедрен с 60°
[tex]=>\Delta ABP e[/tex] равностранен.
[tex]\angle A= \angle B=\angle C=60[/tex]°
Спускаме [tex]OF \bot AP (F \in AP; OF=h)[/tex]
[tex]S_{AOP}=\frac{AP.OF}{ 2}=\frac{15.h}{2 }[/tex]
Лицето на същия триъгълник ще изразим по още един начин и после ще ги приравним.
[tex]S_{AOP}=S_{ABP}-S_{AOB}[/tex]
[tex]S_{ABP}=\frac{15.15.sin60}{ 2}=\frac{225\sqrt{3} }{ 4} cm^2[/tex]
[tex]S_{AOB}=\frac{15.7.sin60}{ 2}=\frac{105\sqrt{3} }{ 4}cm^2[/tex]
[tex]S_{AOP}=\frac{225\sqrt{3} }{ 4}-\frac{105\sqrt{3} }{ 4}=30\sqrt{3}[/tex]
[tex]30\sqrt{3}=\frac{15.h}{ 2} => h=OF=\frac{60\sqrt{3} }{ 15}=4\sqrt{3}[/tex]
[tex]\Delta MON -[/tex]равнобедрен
[tex]OF \equiv h \equiv m => FM=FN=a[/tex]
Питагорова теорема за [tex]\Delta FOM => a^2+h^2=7^2 <=> a^2=49- (4\sqrt{3})^2=1 => a=1 cm[/tex]
[tex]MN=2a=2.1=2 cm[/tex]

[Zarrie]

Точно така, Сара, отговора е 2 Благодаря
Гениално Много елегантно решение

[kmitov]

Може и със секущи през външна точка.