Отношения между страни в произволен триъгълник

[serenity]

Точката М дели страната АС на триъгълника АВС в отношение СМ:МА = 2. Медианата АL пресича ВМ в точката N. Да се намери отношението BN:NM.

Как задачата може да се реши без вектори, а чрез теоремата на Талес?

[math10.com]

zad2.png (56.24 KiB) Прегледано 3375 пъти

Е не е точно с теорема на Талес , но става .

[Knowledge Greedy]

Точката М дели страната АС на триъгълника АВС в отношение СМ:МА = 2. Медианата АL пресича ВМ в точката N. Да се намери отношението BN:NM.
Как задачата може да се реши чрез теоремата на Талес?

Талес или ....PNG (5.69 KiB) Прегледано 3361 пъти

Нека [tex]LP||CM[/tex], [tex]\,\ P\in BM[/tex].
За ъгъла [tex]\angle CBM[/tex] и [tex]LP||CM[/tex] прилагаме теоремата на Талес. От [tex]BL:LC=1:1[/tex] следва, че [tex]BP:PM=1:1[/tex].
Означаваме [tex]BM=PM=2m[/tex].

От следствието на теоремата на Талес за ъгъла [tex]\angle CBM[/tex] и [tex]LP||CM[/tex], от [tex]BL:BC=1:2[/tex] получаваме [tex]PL:PC=1:2[/tex].
Означаваме [tex]PL=k[/tex] и [tex]PC=2k.[/tex]
От условието на задачата веднага следва, че [tex]AM=k[/tex].

На чертежа с еднакъв цвят са означени вътрешно-кръстните ъгли при пресичането на успоредните [tex]LP||CM[/tex] с медианата [tex]AL[/tex], както и при пресичането с [tex]BM[/tex]. Така по втори признак получаваме [tex]\Delta PLN\simeq \Delta MAN[/tex].
Следователно [tex]PN=MN[/tex]. Но сборът им е [tex]PM=2m[/tex]. Следователно всяка от тях е [tex]PN=MN=m[/tex].
Оттук търсеното отношение [tex]BN:NM=3:1[/tex].