Лице на триъгълник

[inveidar]

Ъглополовящата през върха А на триъгълник АВС е два пъти по-голяма от медианата през върха В и сключва ъгъл от 45 градуса със страната ВС. Да се пресметне лицето на АВС, ако медианата през В има дължина [tex]a[/tex].

[monika_at]

Сладка задачка:) Нека учениците помислят

[monika_at]

Да направим едно допълнително построение, което ще ни помогне Може би успоредна права...

[amsara]

Получавам [tex]\frac{3a^2}{ 2}[/tex]. Дали е толкова?

[amsara]

О, значи е толкова, ако съдя по дадения позитивен рейтинг. Сега ще напиша решението.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Първо нека въведем няколко означения. Нека ъглополовящата е [tex]AL=2a[/tex]. Тогава медианата e[tex]BM=a[/tex] .
Построяваме [tex]MQ || AL; Q \in BC[/tex]
[tex]=>MQ -[/tex]средна отсечка в [tex]\Delta ALC =>MQ=a[/tex]
[tex]MB=MQ=a => \Delta MBQ -[/tex] равнобедрен с 45°.[tex]=>\angle BMQ =90[/tex]°
[tex]S_{BMQ}=\frac{a^2}{ 2}[/tex]
От [tex]MQ -[/tex]средна отсечка в [tex]\Delta ALC => AM=MC=x; CQ=QL=y[/tex]
[tex]AL \cap MB=F => AF\equiv h \equiv l[/tex] в [tex]\Delta ABM =>\Delta ABM -[/tex]равнобедрен
[tex]=>AB=x[/tex]
От свойство на ъглополовящата [tex]=>AC:CL=AB:BL=x:y => BL=y =>S_{MQC}=\frac{a^2}{ 4}[/tex]
От медианата [tex]=>S_{BMC}=S_{BMA}=\frac{3a^2}{ 4}[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{3a^2}{2 }[/tex]

[monika_at]

Супер решение, Сара:)