Правоъгълен триъгълник

[Zarrie]

Здравейте, може ли някой подробно да разпише задачата:
Даден правоъгълен триъгълник ABC, за който е дадено, че AC + BC = p.
кои стойности на AC и BC триъгълникът има най-голямо лице?
Благодаря предварително!

[ptj]

1.)Вариант:
Ако [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] са катети, то максимума на лицето е когато са равни.
Неравенство между средно аритметично и средно геометрично (за положителни числа):

[tex]\frac{a+b}{2 }\ge\sqrt{ab}[/tex] (равенство се достига единствено при [tex]a=b[/tex])

[tex]\frac{p}{2 }\ge\sqrt{ab}[/tex]

[tex]\frac{p^2}{4 }\ge ab[/tex] , т.е. [tex]S\le \frac{p^2}{8 }[/tex]

2.) Вариант:
Търсим [tex]max\big(f(a)\big)[/tex], където [tex]f(a)=S=\frac{a(p-a)}{2 }[/tex] [tex]a\in (0;p)[/tex]
[tex]f'(a)=0 \Leftrightarrow \frac{1}{2 }(-2a+p)=0 \Leftrightarrow a=\frac{p}{2 }[/tex]

[tex]f''(a)=-1[/tex]

сл. в точката [tex]a=\frac{p}{2 }[/tex], функцията има локален максимум [tex]f(\frac{p}{2 })=\frac{p^2}{8 }[/tex].

Освен това [tex]f(a)[/tex] е непрекъсната в [tex](0;p)[/tex] като [tex]\lim_{a \to 0} {f(a)}=\lim_{a \to p} {f(a)}=0[/tex],

т.е. намерения локален максимум се явява абсолютен максимум на [tex]f(a)[/tex].