Функция и интеграл

[thepacho]

Незнам как да ги реша:

Благодаря предварително на който помогне.

[Knowledge Greedy]

И двете функции са определени и непрекъснати в [tex]x_0=-1[/tex] - значи просто заместваме.
За първата:
[tex]\lim_{x \to -1} \frac{x^3}{(1-x)^2 }=\frac{(-1)^3}{(1-(-1))^2 }=-\frac{1}{4}[/tex]
Втората:
[tex]\lim_{x \to -1}\frac{2x^3+x^2+x}{x^2+1}= \frac{2(-1)^3+(-1)^2+(-1)}{(-1)^2+1}=\frac{-2+1-1}{1+1 }=-1[/tex]

Границите, които се търсят са безкрайности - виж най-високите степени на числителя и знаменателя. Когато на числителя най-голямата степен на [tex]x[/tex] e по-голяма от тази в знаменателя, границата е безкрайност. Остава да съобразиш дали е [tex]+\infty[/tex] или [tex]-\infty[/tex].

За асимптотите - виж си определенията.
Очевидно и двете нямат хоризонтални асимптоти.
Но първата [tex]f(x)[/tex] има вертикална асимптота [tex]x=1[/tex], докато втората [tex]f(x)[/tex] има наклонена - ето защо.
Ако:
1. представиш [tex]f(x)[/tex] така
[tex]f(x)=\frac{2x^3+x^2+x}{x^2+1}=\frac{2x^3+2x}{x^2+1 }+\frac{x^2+1}{x^2+1}-\frac{x+1}{x^2+1}[/tex]
2. Съкратиш
[tex]f(x)=\frac{2x\cancel{(x^2+1)}}{\cancel{x^2+1} }+\frac{\cancel{x^2+1}}{\cancel{x^2+1}}-\frac{x+1}{x^2+1}[/tex]
3. и си наясно, че границата
[tex]\lim_{x \to \infty }\frac{x+1}{x^2+1}=0[/tex] - то получаваш уравнението на наклонената асимптота [tex]y=2x+1[/tex]

Не казах нищо за наклонената асимптота на първата [tex]f(x)[/tex]. Такава има, защото най-високият степенен показател на [tex]x[/tex] в числителя, е по-голям с единица от най-високия степенен показател [tex]x[/tex] в знаменателя.
Представяш [tex]f(x)[/tex] така [tex]f(x)=\frac{x^3}{(1-x)^2 }=x+2+\frac{3}{x-1 } +\frac{1}{(x-1)^2 }[/tex]

Наклонената асимптота е с уравнение [tex]y=x+2[/tex].

(Двете останали събираеми [tex]\frac{3}{x-1 }[/tex] и [tex]\frac{1}{(x-1)^2 }[/tex] както се досещаш, са безкрайно нищожни при [tex]{x \to \infty }[/tex])

За определяне на интервалите на растене и намаляване намираш първата производна.
На втората [tex]f(x)[/tex] производната е [tex]f'(x)=1-\frac{3}{(x-1)^2 } -\frac{2}{(x-1)^3 }[/tex]
Решаваме неравенството [tex]f'(x)>0[/tex] - за намерените [tex]x[/tex] функцията [tex]f(x)[/tex] е растяща.
Това неравенство е равносилно на [tex]\frac{x^3-3x^2}{(x-1)^3 }>0[/tex]. С метода на интервалите определяме
[tex]x\in (-\infty ; \,\1)\cup (3; \,\ +\infty)[/tex]
А пък в интервала [tex](1; \,\ 3)[/tex] - явно функцията ще е намаляваща.

За определяне на интервалите на растене и намаляване намираш първата производна.
На първата [tex]f(x)[/tex] производната е [tex]f'(x)=2-\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2 }[/tex]
Решаваш неравенството [tex]f'(x)<0[/tex] - за намерените [tex]x[/tex] функцията [tex]f(x)[/tex] е намаляваща.
Това неравенство е равносилно на [tex]\frac{2x^2+5x^2+1}{(x^2+1)^2 }<0[/tex] - състои се само от положителни едночлени и четни степени - значи лявата страна е винаги положителна, значи няма решение. Т.е. няма интервал, в който тази функция да е намаляваща. Следователно е растяща.

За интегралите. Ако си разбрал как се представят функциите с елементарни дроби - направо ще напишеш отговорите.
Понеже ми е лесно с "copy-paste" - ето ги
[tex]\int_{}^{ } \frac{2x^3+x^2+x}{x^2+1}dx=\int_{}^{ }\left ( 2x+1-\frac{x+1}{x^2+1} \right )dx=\int_{}^{ }\left ( 2x+1-\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1} \right )dx=[/tex] един полином, един логаритъм и един аркустангенс - все таблични.

Интегралът от първата - и той така [tex]\int_{}^{ } f(x)dx= \int_{}^{ } \frac{x^3}{(1-x)^2 }dx=\int_{}^{ }\left ( x+2+\frac{3}{x-1 } +\frac{1}{(x-1)^2 } \right )dx=[/tex]един полином, един логаритъм и една дроб - все таблични.

Wimen! Това последното го написах без да превключа клавиатурата, трябваше да е Успех!
Виж ти! Как успехът бил свързан с жените (Women)!